[論文レビュー] On the Link Between Strongly Connected Iteration Graphs and Chaotic Boolean Discrete-Time Dynamical Systems

Jacques M. Bahi, Jean-François Couchot+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Chaos-based Image/Signal Encryption被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ブールネットワークにおけるカオス的離散時間反復が、ネットワークの反復グラフが強く連結である場合に限り保証されることを確立している。本稿は、その連結性を保証する相互作用グラフに関する十分条件を提示し、カオス的関数を構成的に生成する手法を可能にする。この手法は擬似乱数生成において検証され、全テスト関数がNIST統計的テストスイートのp値1%以上を満たした。

ABSTRACT

Chaotic functions are characterized by sensitivity to initial conditions, transitivity, and regularity. Providing new functions with such properties is a real challenge. This work shows that one can associate with any Boolean network a continuous function, whose discrete-time iterations are chaotic if and only if the iteration graph of the Boolean network is strongly connected. Then, sufficient conditions for this strong connectivity are expressed on the interaction graph of this network, leading to a constructive method of chaotic function computation. The whole approach is evaluated in the chaos-based pseudo-random number generation context.

研究の動機と目的

• ブールネットワークにおけるカオス的離散時間反復を、位相的カオス性の基準（感度、トランスティビティ、周期的点の稠密性）を用いて特徴づける。
• 相互作用グラフの構造とシステムのカオス的挙動との間の構成的関係を確立する。
• 離散的ブール写像を用いることで、有限精度実装におけるカオス的性質の保持を保証する。
• PRNGへの応用において、出力分布が一様になるようにする。
• NIST統計的テストスイートSP 800-22を用いて、アプローチの妥当性を検証する。

提案手法

• ブールネットワーク $ f: \mathds{B}^n \to \mathds{B}^n $ から導かれる連続写像 $ G_f $ を、空間 $ \llbracket 1;n\rrbracket^{\mathbb{N}} \times \mathds{B}^n $ 上に定義し、非同期反復をモデル化する。
• 写像 $ G_f $ がデヴァンイの意味で位相的カオス的であることは、かつは反復グラフ $ \Gamma(f) $ が強く連結であることと同値であることを証明する。
• 反復グラフ $ \Gamma(f) $ の強く連結性の十分条件を、ノード数が $ n $ 個である相互作用グラフ $ G(f) $ の構造に基づいて表現する。
• 相互作用グラフがこれらの構造的条件（例えば、強く連結であること、二重確率性）を満たすようにすることで、カオス的関数を構築する。
• 出力分布の一様性を、誘導されるマルコフ連鎖が二重確率的であることとすることによって特徴付ける。
• 1%の有意水準を用いて、NIST SP 800-22テストスイートを用いて、得られたPRNGを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブールネットワークの相互作用グラフにどのような条件が満たされると、関連する離散時間力学系がカオス的になるか？
• RQ2 ブールネットワークにおけるカオス的挙動は有限精度実装でも保持可能か？ その保証はどのように行えるか？
• RQ3 相互作用グラフのどのような構造的性質が、出力分布に誘導されるマルコフ連鎖が二重確率的になるかを保証するか？
• RQ4 提案手法を用いて、証明可能なカオス的かつ一様分布する出力を有するPRNGをどのように構築できるか？
• RQ5 生成された関数は、NIST SP 800-22のような標準的な統計的ランダムネステストにどの程度合格するか？

主な発見

• ブールネットワークがカオス的離散時間力学系を生成するのは、その反復グラフが強く連結である場合に限り成立する。
• 反復グラフの強く連結性の十分条件は、相互作用グラフの構造に基づいて導出され、カオス的写像の体系的構築を可能にする。
• 全16のテストされたカオス的関数（例：$ \mathcal{F}_1 $ から $ \mathcal{F}_{16} $）が、NIST SP 800-22テストスイートの全15テストにおいてp値が1%を超えて通過した。
• 誘導されるマルコフ連鎖が二重確率的である関数は、一様な出力を生成する。これはPRNGにとって重要な要件である。
• この手法により、理論的カオス性が実装において保持され、浮動小数点演算によるカオス的性質の喪失を回避できる。
• このアプローチは一般性を有し、PRNGに限らず暗号、ステガノグラフィ、ハッシュ関数などへの応用も可能である。