[論文レビュー] On the Littlewood problem modulo a prime

Ben Green, Sergeĭ Konyagin|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Littlewoodの問題のモジュラー版を解決する。実数値関数 $ f $ が $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 上にあり、平均がゼロで、フーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムが正規化されているとき、$ f $ の点ごとの絶対値の最小値は $ O((\log \log p / \log p)^{1/3}) $ 未満であることを証明する。この結果は、稠密な部分集合の特性関数のフーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムに対する強い定量的評価を意味し、素数モジュロにおける大きな集合のシフトの交差サイズの分布に関するGowersの問いを解決する。

ABSTRACT

Let p be a prime, and let f : Z/pZ -> R be a function with average value 0 and ||f||_A <= 1, where ||f||_A denotes the algebra norm (L^1 norm of the Fourier transform). Then f(x) is small for some x, specifically min_x |f(x)| is no more than O(log p)^{-1/3 + eps}. One should think of f as being ``approximately continuous''; our result is then an ``approximate intermediate value theorem''. As an immediate consequence we show that if B in Z/pZ is a set of cardinality (p-1)/2 then the algebra norm ||1_B||_A is >> (log p)^{1/3 - eps}. This gives a result on a ``mod p'' analogue of Littlewood's well-known problem concerning the smallest possible L^1-norm of the Fourier transform of a set of n integers. Another application is to answer a question of Gowers. If B in Z/pZ is a set of size (p-1)/2 then there is some x in Z/pZ such that the intersection of B with B + x has cardinality within o(p) of p/4.

研究の動機と目的

• フーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムが小さい関数の $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 上での最小点ごとの絶対値に対する定量的評価を、近似的な中間値定理の精神で確立すること。
• 整数集合上の指数和の $ L^1 $-ノルムの最小値に関するLittlewood予想のモジュラー版を、$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 上の特性関数のフーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムを調べることで解決すること。
• Gowersが提起した、$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ の部分集合 $ A \subseteq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ で $ |A| = \lfloor p/2 \rfloor $ のとき、$ |A \cap (A+x)| $ の交差サイズの分布に関する問いに答えること。具体的には、ある $ x $ に対してそれが $ p/4 $ に近いことが示される。
• 稠密な $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ の部分集合の特性関数のフーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムに対する下界を導出し、自明な評価を改善するとともに、調和解析の古典的問題と関連付けること。

提案手法

• 主結果は、$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to [0,1] $ である関数 $ f $ を構成することによって得られる。この関数は平均が $ 1/2 $ で、$ \|f * f^\circ - 1/4\|_\infty \gg 1/(\log p \log \log p) $ を満たす。確率的および畳み込みに基づく技法が用いられる。
• 各要素が確率 $ f(x) $ で独立に含まれるランダム部分集合 $ B \subseteq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ を選ぶ。Hoeffdingの不等式を用いて、$ B $ のサイズおよび畳み込み $ 1_B * 1_B^\circ $ の偏差を制御する。
• その後、$ B $ を決定的に変更し、$ O(p^{2/3}) $ 個の要素を追加または削除して、正確に $ \lfloor p/2 \rfloor $ 個の要素を持つ集合 $ A $ を得る。このとき $ \|1_A - 1_B\|_2 \leq 2p^{-1/6} $ が成り立つ。
• 畳み込みの $ \ell^2 $-摂動に対する安定性を、畳み込みの差の $ \ell^\infty $-ノルムを抑える補題を用いて利用する。これにより、最終的な集合 $ A $ が所望の交差サイズの集中を満たすことが保証される。
• インデックス集合を3つの独立な族に分割し、従属する確率的変数 $ X_y X_{y-x} $ に対してHoeffdingの不等式を適用することで、従属性にもかかわらず集中評価を得る。
• この構成は、関数 $ f $ がその反射との畳み込みで $ 1/4 $ から離れていることを特徴としており、そのような関数の存在は確率的技法とKomlós予想に関する結果を用いて示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数値関数 $ f $ が $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 上にあり、$ \mathbb{E}[f] = 0 $ かつ $ \|\widehat{f}\|_1 \leq 1 $ のとき、$ \min_x |f(x)| $ の最小可能な値は何か？
• RQ2 集合 $ \lfloor p/2 \rfloor $ 個の要素を持つ $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ の部分集合の特性関数のフーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムに対して、非自明な下界を確立できるか？
• RQ3 $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ の部分集合 $ A $ で $ |A| = \lfloor p/2 \rfloor $ であるとき、任意の $ A $ に対して、あるシフト $ x $ が存在して $ \big{|} |A \cap (A+x)| - p/4 \big{|} = o(p) $ となるか？
• RQ4 $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ の集合のフーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムは、Littlewood問題における古典的評価 $ \log n $ とどのように比較されるか？
• RQ5 中間値型評価の誤差項に現れる $ \log \log p $ 要素を改善できるか？また、Komlós予想はこの問題においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 主結果として、任意の関数 $ f: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to \mathbb{R} $ で $ \mathbb{E}[f] = 0 $ かつ $ \|\widehat{f}\|_1 \leq 1 $ を満たすものに対して、$ \min_x |f(x)| = O\big{(}(\log \log p / \log p)^{1/3}\big{)} $ が成り立つ。
• この評価は対数因子を除いて最良であり、$ \min |f(x)| \gg 1/\log p $ を満たす関数の構成により、評価を $ O(1/\log p) $ より改善できないことが示される。
• その結果、$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ の部分集合 $ A \subseteq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ で $ |A| = \lfloor p/2 \rfloor $ のとき、特性関数のフーリエ変換の $ \ell^1 $-ノルムは $ \|\widehat{1_A}\|_1 \gg (\log p / \log \log p)^{1/3} $ を満たす。
• 本稿はGowersの問いを解決し、任意の such $ A $ に対して、ある $ x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ が存在して $ \big{|} |A \cap (A+x)| - p/4 \big{|} = O\big{(} p (\log \log p / \log p)^{1/3} \big{)} $ であることを証明する。
• この結果は、任意の密度 $ \alpha, \beta $ の集合 $ A, B \subseteq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ に一般化され、ある $ x $ に対して $ \big{|} |A \cap (B+x)| - \alpha\beta p \big{|} = O\big{(} p (\log \log p / \log p)^{1/3} \big{)} $ が成り立つ。
• Sandersによる最近の発展により、主定理の誤差項が $ O((\log p)^{-1/2 + \epsilon}) $ に改善された。これは、現在の評価が最良でない可能性を示唆している。