[論文レビュー] On the local and global classification of generalized complex structures

Michael Bailey|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般化された複素多様体上の複素型の点の近傍では、局所的にコランテル同値な構造が、正則ポアソン反対称テンソル場による複素構造の変形であることを確立している。縮小する近傍上でナッシュ＝モーザー型反復アルゴリズムを用い、スケーリングされた$C^∞$空間の現代的形式的記述を用いることで、著者たちは、このような一般化された複素構造が正則ポアソン構造による複素構造の変形として生じることを証明し、複素型の点における局所的分類問題を解決した。

ABSTRACT

We study a number of local and global classification problems in generalized complex geometry. In the first topic, we characterize the local structure of generalized complex manifolds by proving that a generalized complex structure near a complex point arises from a holomorphic Poisson structure. In the proof we use a smoothed Newton's method along the lines of Nash, Moser and Conn. In the second topic, we consider whether a given regular Poisson structure and transverse complex structure come from a generalized complex structure. We give cohomological criteria, and we find some counterexamples and some unexpected examples, including a compact, regular generalized complex manifold for which nearby symplectic leaves are not symplectomorphic. In the third topic, we consider generalized complex structures with nondegenerate type change; we describe a generalized Calabi-Yau structure induced on the type change locus, and prove a local normal form theorem near this locus. Finally, in the fourth topic, we give a classification of generalized complex principal bundles satisfying a certain transversality condition; in this case, there is a generalized flat connection, and the classification involves a monodromy map to the Courant automorphism group.

研究の動機と目的

• 複素型の点における一般化された複素構造の局所的分類を解消すること、ここでポアソンテンソルは消える。
• このような構造が、正則ポアソン反対称テンソル場による複素構造の変形と局所的に同値であることを示すこと。
• アブオザイドとボヤルチェンコの局所正規形定理を拡張し、複素型の点における残りの局所的モデルを特徴付けること。
• スケーリングされた$C^∞$フレームワーク内で、急速に収束するアルゴリズムを用いた構成的局所的分類を提供すること。

提案手法

• 収縮する近傍上でナッシュ＝モーザー型反復アルゴリズムを適応し、局所的分類問題を解く。
• $C^∞$空間のスケーリング形式的記述（ミランダ、モニエ、ズング、2011年）を用いて、収束過程における微分の損失を処理する。
• パラメータ$\varepsilon$のサイズをシュレーディンガー空間ノルムで小さくするために、一意の変換族$\lambda_t$と拡大$\delta_t$を用いてスケーリングする。
• 原点における一般化された複素構造を標準的な複素構造$\mathbb{C}^n$に正規化するために$B$-変換を適用する。
• ベクトル場のフローによる共役手続きを実装し、変形$\varepsilon$を正則ポアソン反対称テンソル$\beta$に変換する。
• マウラー＝カルタン方程式とコランテル括弧における$+i$-固有空間の完全性を根拠に、変換の全過程で一般化された複素構造が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソンテンソルが消える（すなわち、複素型の点で）近傍における一般化された複素構造の局所的モデルは何か？
• RQ2 このような局所的構造は、正則ポアソン反対称テンソル場による複素構造の変形として記述可能か？
• RQ3 急速に収束するアルゴリズムを用いた構成的分類法は存在するか？
• RQ4 $\delta_t$および$\lambda_t$における変形パラメータのスケーリング行動は、ナッシュ＝モーザー枠組みでの収束をどのように可能にするか？

主な発見

• 任意の複素型の点の近傍では、一般化された複素構造は、正則ポアソン反対称テンソル場による複素構造の変形と局所的にコランテル同値である。
• 証明は、微分の損失を克服するため、収縮する近傍上で急速に収束するナッシュ＝モーザー型アルゴリズムに依存している。
• 変形パラメータ$\varepsilon$は$R_t = \lambda_{t^2} \delta_{t^{-1}}$によりスケーリング可能であり、これにより$C^k$ノルムが$ t $倍に小さくなる。このため、メイン補題の適用が可能になる。
• $\lambda_{t^2}$は反対称テンソル場を$ t^{-2} $倍にスケーリングする。これにより、元の変形$\varepsilon$が正則ポアソン構造$ t^{-2}\beta $と同値であることが示される。
• このような一般化された複素構造の型変化軌跡は、正則反対称テンソル成分の代数的関数の消滅によって定義されるため、局所的に解析的部分多様体である。