[論文レビュー] On the local and global exterior square L-functions

Pramod Kumar Kewat, Ravi Raghunathan|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、GL_n の局所的外部平方 L-関数が、積分表現（Jacquet-Shalika）と Langlands-Shahidi 法によって構成されたものとが、平方可積分および一般表現に対して等価であることを確立する。L_{JS}(s,π_v,∧^2) = L_{Sh}(s,π_v,∧^2) が成り立つことにより、Jacquet-Shalika の L-関数に対する正則性、関数等式、垂直帯における有界性といった解析的性質が導かれる。さらに、偶数の場合の一般表現に対して、ε-因子を伴う局所的関数等式が確立される。

ABSTRACT

We show that the local exterior square L-functions of GL_n constructed via the theory of integral representations by Jacquet and Shalika coincide with those constructed by the Langlands-Shahidi method for square integrable representations (and for all irreducible representations when n is even). We also deduce several local and global consequences.

研究の動機と目的

• GL_n の局所的外部平方 L-関数の2つの構成法—Jacquet と Shalika の積分表現法と Langlands-Shahidi 法—の等価性を確立すること。
• L-関数のグローバル等価性を用いて、Jacquet-Shalika の L-関数に対するグローバルな解析的性質（正則性、関数等式、垂直帯における有界性）を導出すること。
• 平方可積分および一般表現の偶数の場合に、2つの L-関数構成法の比較を通じて、局所的 ε-因子を定義し、局所的関数等式を確立すること。
• L-関数の等価性に基づき、対称平方 L-関数の極の性質を用いて、自己双対な平方可積分表現を特徴付けること。

提案手法

• グローバル手法を用いて、平方可積分表現をカスプ的自動形式表現の局所的成分として埋め込む。
• グローバルな Jacquet-Shalika 積分を L_{Sh}(s,π,∧^2) で割ることで、関数等式および解析的性質を導出する。
• 有限およびアーチメデス的非可換場における L_{Sh}(s,π,∧^2) の最近の正則性および非消滅結果を応用し、L_{JS}(s,π,∧^2) の性質を導出する。
• 有限およびアーチメデス的非可換場におけるグローバル積分の商の比較を通じて、テストベクトルに依存しない ε-因子の定義に至り、局所的関数等式を導出する。
• グローバル関数等式および L_{JS} = L_{Sh} の等価性を用いて、平方可積分表現に対して ε-因子が正則かつ非消滅であることを示す。
• 偶数および奇数の場合の両方を適用：偶数の場合、関数等式は自動形式スペクトル内のすべての一般表現に対して成り立つ。奇数の場合、関数等式は平方可積分表現に対して成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_n の平方可積分表現に対して、積分表現（Jacquet-Shalika）によって構成された局所的外部平方 L-関数は、Langlands-Shahidi 法によって得られるものと一致するか？
• RQ2 Jacquet-Shalika の L-関数の解析的性質（正則性、関数等式、垂直帯における有界性）は、Langlands-Shahidi の L-関数との等価性から導けるか？
• RQ3 積分表現法を用いて、外部平方 L-関数の局所的 ε-因子を定義し、局所的関数等式を確立することは可能か？
• RQ4 対称平方 L-関数の極の挙動から、自己双対な平方可積分表現をどのように特徴づけられるか？
• RQ5 カスプ的自動形式表現に対して、グローバル L-関数 L_{JS}(s,π,∧^2) と L_{Sh}(s,π,∧^2) はどのように比較できるか？

主な発見

• GL_n(F_v) のすべての不可約平方可積分表現に対して、Jacquet-Shalika の積分表現および Langlands-Shahidi 法によって構成された局所的外部平方 L-関数は等しい。
• GL_{2n}(F_v) の不可約一般表現 π_v に対して、L_{JS}(s,π_v,∧^2) = L_{Sh}(s,π_v,∧^2) が成り立ち、この結果はグローバルな場合に拡張される。
• グローバルな Jacquet-Shalika L-関数 L_{JS}(s,π,∧^2) は、L_{Sh}(s,π,∧^2) とのグローバル等価性から、正則であり、関数等式を満たし、垂直帯において有界である。
• 偶数の場合の平方可積分および一般表現に対して、局所的 ε-因子 ε_{JS}(s,π_v,ψ_v,∧^2) が定義され、グローバル積分の商を含む関数等式を満たす。
• ε-因子は正則かつ非消滅であり、テストベクトルの選択に依存せず、唯一 π_v に依存する。
• L_{JS}(s,π_v,∧^2) = L(s,π_v,∧^2) は、Langlands-Shahidi の L-関数との等価性および Henniart の結果から、関連するすべての表現に対して従属的に成り立つ。