[論文レビュー] On the local Bump-Friedberg L-function

Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$F$ を $p$-進体とする $GL(n,F)$ の既約表現 $\pi$ に対する局所的 Bump-Friedberg $L$-関数が、$\pi$ のラングランズパラメータ $\phi(\pi)$ を用いて $L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ に等しいことを確立する。証明は、$\chi_\alpha$-区別された一般表現の分類と、Whittaker および Shalika の周期関係を用いた離散系列への還元に依拠し、最終的にすべての既約表現に対して予想された因子分解が確認される。

ABSTRACT

Let $F$ be a $p$-adic field. If $π$ be an irreducible representation of $GL(n,F)$, Bump and Friedberg associated to $π$ an Euler fator $L(π,BF,s_1,s_2)$ in \cite{BF}, that should be equal to $L(ϕ(π),s_1)L(ϕ(π),Λ^2,s_2)$, where $ϕ(π)$ is the Langlands' parameter of $π$. The main result of this paper is to show that this equality is true when $(s_1,s_2)=(s+1/2,2s)$, for $s$ in $\C$. To prove this, we classify in terms of distinguished discrete series, generic representations of $GL(n,F)$ which are $χ_α$-distinguished by the Levi subgroup $GL([(n+1)/2],F) imes GL([n/2],F)$, for $χ_α(g_1,g_2)=α(det(g_1)/det(g_2))$, where $α$ is a character of $F^*$ of real part between -1/2 and 1/2. We then adapt the technique of \cite{CP} to reduce the proof of the equality to the case of discrete series. The equality for discrete series is a consequence of the relation between linear periods and Shalika periods for discrete series, and the main result of \cite{KR}.

研究の動機と目的

• $GL(n,F)$ の既約表現に対して、局所的 Bump-Friedberg $L$-関数と標準的 $L$-関数の積 $L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ の間の予想された等式を検証すること。
• $GL([(n+1)/2],F)\times GL([n/2],F)$ におけるレヴィ部分群によって $\chi_\alpha$-区別される $GL(n,F)$ の一般表現を分類すること、ここで $\chi_\alpha(g_1,g_2) = \alpha(\det g_1 / \det g_2)$ であり、$\alpha$ の実部が $[-1/2, 1/2]$ に属する。
• Whittaker 型表現に関連するランキン＝セルバーグ積分の関数方程式および有理型性の結果を拡張すること。
• 線形周期と Shalika 周期の関係を用いて離散系列表現に対して等式を確立し、その後、誘導およびラングランズ分類を用いてすべての既約表現へと拡張すること。

提案手法

• $\chi_\alpha$-区別された一般表現を、$\chi_\alpha$-区別された離散系列表現の観点から分類し、[27] の結果と Bernstein-Zelevinsky の導来に関する性質を用いる。
• [10] の技術を応用し、$L$-関数の等式の証明を離散系列表現のケースに還元する。
• ユニタリ離散系列表現に対して線形周期と Shalika 周期の関係を用いて、$L^{\text{lin}}(\Delta,s)$ が $L(\phi(\Delta),s+1/2)L(\Lambda^2(\phi(\Delta)),2s)$ に等しいことを示す。
• レヴィ部分群の非分岐特徴標による twisted されたランキン＝セルバーグ積分 $\Psi(W,\phi,s)$ の有理型性を証明し、関数方程式および極構造を確立する。
• $\Delta = \text{St}_k(\rho)$ の離散系列パラメータ $k$ についての帰納法を適用し、$L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ の帰納性と $L(\phi(\Delta),\wedge^2,s)$ の積分公式を用いる。
• $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ の例外的極が $\pi$ が $\chi_\alpha^{-1}$-区別されるときにのみ発生することを活用し、極構造と区別された表現の分類を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的 Bump-Friedberg $L$-関数 $L(\pi,BF,s_1,s_2)$ は、すべての $GL(n,F)$ の既約表現 $\pi$ に対して $L(\pi,BF,s+1/2,2s) = L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ を満たすか？
• RQ2 $\chi_\alpha(g_1,g_2) = \alpha(\det g_1 / \det g_2)$ で与えられ、$\text{Re}(\alpha) \in [-1/2, 1/2]$ であるような $\chi_\alpha$-区別された $GL(n,F)$ の一般表現はどれか？
• RQ3 離散系列表現に対して、線形周期 $L^{\text{lin}}(\pi,s)$ と標準的 $L$-関数 $L(\phi(\pi),s+1/2)$ および $L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ の関係は何か？
• RQ4 線形周期と標準的 $L$-関数の等式 $L^{\text{lin}}(\pi,s) = L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ は、誘導およびラングランズ分類を用いて離散系列からすべての既約表現へと拡張可能か？

主な発見

• $GL(n,F)$ のすべての離散系列表現 $\Delta$ に対して、等式 $L^{\text{lin}}(\Delta,s) = L(\phi(\Delta),s+1/2)L(\phi(\Delta),\wedge^2,2s)$ が成り立つ。これは線形周期と Shalika 周期の関係および [20] の主要結果に基づいて証明される。
• $\text{Re}(\alpha) \in [-1/2, 1/2]$ である $\chi_\alpha$-区別された一般表現に対して、その分類により、それらが $\chi_\alpha$-区別されるための必要十分条件が、ある構造を保存するラングランズパラメータを持つことであることが示され、自明な特徴標の場合のシミレティック条件を一般化する。
• $\text{Re}(\alpha) \in [-1/2, 0]$ のとき、ラングランズ型の表現に対して $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ は帰納性関係を満たし、これにより離散系列への還元が可能になる。
• レヴィ部分群の非分岐特徴標による twisted されたランキン＝セルバーグ積分 $\Psi(W,\phi,s)$ の有理型性が確立され、meromorphic 続きと関数方程式が保証される。
• $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ の $s=0$ における例外的極が、$\pi$ が $\chi_\alpha^{-1}$-区別されるときにのみ発生することを示し、極構造と区別された表現の分類を結びつける。
• 主結果は、$GL(n,F)$ のすべての既約表現 $\tau$ に拡張され、$L^{\text{lin}}(\tau,s) = L(\phi(\tau),s+1/2)L(\phi(\tau),\Lambda^2,2s)$ が得られる。これにより、指定されたパrameter に対して Bump-Friedberg 予想が確認される。