[論文レビュー] On the local density formula and the Gross-Keating invariant with an Appendix `The local density of a binary quadratic form' by T. Ikeda and H. Katsurada

Sungmun Cho|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非分岐2進体上の二次形式格子の局所的密度が、$L \oplus -L$ のGross-Keating不変量およびすべての関連する $i$ における $
\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ の拡張Gross-Keating不変量によって完全に決定されることを確立しており、局所的密度がGKデータによって記述可能かどうかという核心的問題を解決している。付録には、2進体上の二元二次形式の完全な局所的密度公式が提示されている。

ABSTRACT

T. Ikeda and H. Katsurada have developed the theory of the Gross-Keating invariant of a quadratic form in their recent papers [IK1] and [IK2]. In particular, they prove that the local factor of the Fourier coefficients of the Siegel-Eisenstein series is completely determined by the Gross-Keating invariant with extra datum, called the extended GK datum, in [IK2]. On the other hand, such local factor is a special case of the local densities for a pair of two quadratic forms. Thus we propose a general question if the local density can be determined by certain series of the Gross-Keating invariants and the extended GK datums. In this paper, we prove that the answer to this question is affirmative, for the local density of a single quadratic form defined over an unramified finite extension of $\mathbb{Z}_2$. In the appendix, T. Ikeda and H. Katsurada compute the local density formula of a single binary quadratic form defined over any finite extension of $\mathbb{Z}_2$.

研究の動機と目的

• 局所的密度 $\alpha(L,L)$ が、拡張Gross-Keating（EGK）データによって完全に表現可能かどうかを特定すること。
• IkedaとKatsuradaが、Siegel-Eisenstein級数のフーリエ係数がEGK不変量によって支配されることを示した枠組みを、局所的密度 $\alpha(L,L)$ の場合に一般化すること。
• 非分岐2進体上での格子に対して、局所的密度 $\alpha(L,L)$ の完全な不変量理論的特徴づけを確立すること。
• 付録として、2進体上の二元二次形式の完全な局所的密度公式を、基礎的結果として提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$L$ のジョルダン分解の各ジョルダン成分 $L_i$ に対して、拡張Gross-Keating不変量 $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ を定義する。
• $L = \oplus_i L_i$ のジョルダン分解を用いて、$L \cap 2^i L^\sharp$ の構造を分析し、そのGross-Keating不変量を計算する。
• 主な結果は、局所的密度 $\alpha(L,L)$ が $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ および多重集合 $\{ \mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1} \}_{i \in \mathbb{Z}}$ のみに依存することを示すことによって得られる。
• 証明は、特にノルム形式と双対格子 $L^\sharp$ を用いた、非分岐2進体上での二次形式格子の構造の詳細な分析に依拠している。
• 付録では、任意の $\mathbb{Z}_2$ の有限拡大体上での二元二次形式の局所的密度を、明示的な不変量と分岐および付値に基づくケース解析を用いて計算する。
• 著者たちは、縮約形式と弱同値の概念を用いて、関連する格子を分類し、それらの不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分岐2進体上での二次形式格子 $L$ の局所的密度 $\alpha(L,L)$ は、拡張Gross-Keating不変量によって完全に決定可能か？
• RQ2 すべての $i$ における多重集合 $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ が、$\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ と組み合わせて $\alpha(L,L)$ を完全に決定可能か？
• RQ3 2進体上での二元二次形式の完全な局所的密度公式は何か？
• RQ4 不変量 $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ と $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ は、異なる局所的密度を持つ格子を区別するのに十分か？

主な発見

• 非分岐 $\mathbb{Z}_2$ の有限拡大体上での二次形式格子 $L$ の局所的密度 $\alpha(L,L)$ は、$\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ およびすべての $i$ に対して $L \cap 2^i L^\sharp \neq 0$ となるような $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ の集合によって完全に決定される。
• 付録では、任意の $\mathbb{Z}_2$ の有限拡大体上での二元二次形式の局所的密度の完全な公式が、Gross-Keating不変量および体拡大の分岐型を用いて提示されている。
• 二次体拡大 $E/F$ 上の格子 $L = \mathfrak{o}_{E,f}$ に対して、$\mathrm{EGK}(L \cap \varpi^i L^\sharp)^{\leq 1}$ の値は、分岐度と付値 $f$ に依存する。
• 著者たちは、$e > 1$ のとき $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ と $\mathrm{EGK}(L \cap \varpi^i L^\sharp)^{\leq 1}$ のみでは $\beta(L)$ を決定できないことを示す明示的反例を構成したが、全不変量集合は $\alpha(L,L)$ を決定するのに十分である。
• この結果により、2進体の非分岐状況において、拡張GKデータが局所的密度 $\alpha(L,L)$ の完全な不変量系を形成することが確認された。