[論文レビュー] On the local structure of the Euler-Lagrange mapping of the calculus of variations

Demeter Krupka|ArXiv.org|Mar 18, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、ファイバーマニフォールド上の高次変分法におけるEuler-Lagrange写像の局所的構造を、その核と像を特徴づけることによって確立し、与えられた偏微分方程式系がEuler-Lagrange方程式として生じるための明示的な必要十分条件を提供する。主な貢献は、jet bundle幾何とEuler-Lagrange作用素を用いて、任意の順序のPDE系の変分的条件を完全に局所的に記述することにある。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to announce some new results on the structure of the higher order Euler-Lagrange mapping of the multiple-integral variational calculus on fibered manifolds,namely a description of its kernel and its image,and an explicit characterization of the conditions under which a system of partial differential equations (of arbitrary order)is a system of the Euler--Lagrange equations.

研究の動機と目的

• ファイバーマニフォールド上での高次変分法におけるEuler-Lagrange写像の局所的構造を理解すること。
• jet空間形式におけるEuler-Lagrange作用素の核と像を特徴づけること。
• 与えられた任意順序のPDE系が、あるラグランジアンのEuler-Lagrange方程式として生じるための明示的な必要十分条件を特定すること。
• 多重積分変分法の文脈において、変分的PDE系を同定するための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• ファイバーマニフォールドのセクションの高次jet延長を記述するためにjet bundle理論を用いる。
• Euler-Lagrange作用素をjet空間間の写像として分析するために、変分双複体の枠組みを適用する。
• jet座標とjet微分を用いたEuler-Lagrange作用素の局所的公式を導出する。
• Euler-Lagrange写像の核を分析し、局所的に変分的となる形式を同定する。
• Euler-Lagrange作用素の像を、すべての形式的変分的PDE系からなる集合として特徴づける。
• Cartanのホモトピー公式と変分双複体の分解を用いて、写像の局所的構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバーマニフォールド上での高次変分法におけるEuler-Lagrange写像の局所的構造は何か？
• RQ2 任意順序のPDE系が、あるラグランジアンのEuler-Lagrange方程式として生じるための正確な条件は何か？
• RQ3 jet空間形式におけるEuler-Lagrange作用素の核と像は、幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 変分双複体は、Euler-Lagrange作用素の局所的形を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 局所的jet座標を用いて、与えられたPDE系が変分的であるかどうかをアルゴリズム的にどのように特定できるか？

主な発見

• Euler-Lagrange写像の核は、すべての局所的に完全な変分的形式からなる。すなわち、Euler-Lagrange作用素の下で消える形式である。
• Euler-Lagrange作用素の像は、すべての形式的変分的PDE系からなる集合として特徴づけられる。すなわち、あるラグランジアンのEuler-Lagrange方程式として生じるPDE系である。
• 任意順序のPDE系が変分的であるための必要十分条件は、jet座標におけるHelmholtz型条件の消滅に基づく、局所的かつ明示的に計算可能な条件の集合に帰着される。
• 本稿は、jet微分と変分双複体を用いて、Euler-Lagrange作用素の完全な局所的記述を提供する。
• 結果は任意順序の系およびファイバーマニフォールドに対して有効であり、古典的結果を高次および幾何的設定に一般化する。
• この枠組みにより、jet空間における局所的計算を用いて、与えられたPDE系の変分的性をアルゴリズム的に検証できる。