[論文レビュー] On the locus of curves with an odd subcanonical marked point

André Contiero, Aislan Leal Fontes|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ピンカムの同変変形理論と canonical ideal の syzygy 分析を用いて、奇数のサブカノニカルなマークド点を持つ滑らかな曲線のモジュライ空間の明示的コンパクト化を構成する。主な貢献は、種数 ≤ 6 に対してモジュライ空間の有理型を示したことであり、種数 5 および 6 の場合については、単項式ゴレンシュタイン曲線の変形によって明示的な方程式が与えられる。

ABSTRACT

We present an explicit construction of a compactification of the locus of smooth curves whose symmetric Weierstrass semigroup at a marked point is odd. The construction is an extension of Stoehr's techniques using Pinkham'sequivariant deformation of monomial curves by exploring syzygies. As an application we prove the rationality of the locus for genus at most six.

研究の動機と目的

• 奇数のサブカノニカルなマークド点を持つ滑らかな曲線のモジュライ空間の明示的コンパクト化を構成すること。
• ストーハーの手法を、通常の対称的半群の制限を超えて、特に双曲的および奇数のウェイエルシュタイン半群を避けること。
• syzygy 分析を用いて、奇数の対称的半群 $\mathcal{S}$ に対するモジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ のグローバルな幾何を調査すること。
• $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ が $g \leq 6$ に対して有理型であることを示し、重み付き射影空間における明示的な方程式を構成すること。

提案手法

• 奇数の対称的半群 $\mathcal{S}$ に関連する単項式ゴレンシュタイン曲線の canonical ideal を、ピンカムの同変変形理論を用いて変形する。
• canonical ideal の syzygy を分析して変形空間を制御し、$\mathbb{P}(T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}]))$ の閉部分スキームとしてコンパクト化を構成する。
• コンパクト化されたモジュライ空間の環境空間として、$T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}])$ の負の次数部分を用いる。
• ブシュヴァイツの $T^2$ の障害空間の記述を応用し、種数 5 および 6 の場合の非自明な障害を検出する。
• $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ の明示的等重多項式方程式を変形パラメータの言語で導出する。
• $a_5 = 1$ と設定した後、局所的に有理関数を用いてモジュライ空間をパラメトライズし、有理型を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストーハーの元来の枠組みを超えて、奇数のサブカノニカルなマークド点を持つ曲線のモジュライ空間に対する明示的コンパクト化を構成できるか？
• RQ2 canonical ideal の syzygy は、奇数の対称的半群を持つ単項式ゴレンシュタイン曲線の変形理論にどのように影響を与えるか？
• RQ3 種数 $g \leq 6$ の奇数の対称的半群 $\mathcal{S}$ に対して、$\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ の幾何的構造はいかなるものか？
• RQ4 特に、滑らかにできる障害が存在する場合に、$\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ が $g \leq 6$ に対して有理型であるか？
• RQ5 $T^1$ および $T^2$ のコタングェント複体が、コンパクト化されたモジュライ空間の有理型および構造を決定する役割を果たすか？

主な発見

• $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ は、15個の変数における5つの等重多項式 $\vartheta_{13}, \vartheta_{15}, \vartheta_{16}, \vartheta_{17}, \vartheta_{19}$ の零点集合として明示的に記述される。
• $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ の局所的パラメトライズは有理型であり、$b_{10}, b_{12}, b_8$ は $a_4, a_5=1, a_7, a_8, a_9, b_3, b_4, b_5, b_6, b_8, b_{10}, b_{11}, b_{12}$ の有理関数として表現可能である。
• 種数 5 で $\mathcal{S} = \langle 5,6,7,8\rangle$ の場合、$T^2$ の次数 $-9$ 部分の次元は 1 であり、滑らかにできる障害が非自明であることを示唆する。
• 種数 6 で $\mathcal{S} = \langle 6,7,8,9,10\rangle$ の場合、$T^2$ の次数 $-13$ 部分の次元は 1 であり、障害空間が消えないことを確認する。
• コンパクト化 $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ は、syzygy 分析を用いて重み付き射影空間 $\mathbb{P}(T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}]))$ の閉部分スキームとして構成される。
• $g \leq 6$ に対して $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ の有理型は、非自明な $T^2$ が存在するにもかかわらず、明示的な有理パラメトライズにより確認される。