[論文レビュー] On the locus of points of high rank

Jarosław Buczyński, Kangjin Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非退化的かつ既約な射影的多様体 $X$ に関して、一般のランクを上回るランクを持つ点の集合である高ランク局所 $W_k$（$k > g$）の構造を調査する。$k > g$ の場合の高ランク局所 $W_k$ に対してネスト構造を確立し、次元の上限を示し、特に曲線や同次多様体（ヴェロネーゼ埋め込みやセグレ埋め込みを含む）に対して最大ランクを特定する。その結果、従来の予想を上回る数の高ランク点が存在することが示された。

ABSTRACT

Given a closed subvariety X in a projective space, the rank with respect to X of a point p in this projective space is the least integer r such that p lies in the linear span of some r points of X. Let W_k be the closure of the set of points of rank with respect to X equal to k. For small values of k such loci are called secant varieties. This article studies the loci W_k for values of k larger than the generic rank. We show they are nested, we bound their dimensions, and we estimate the maximal possible rank with respect to X in special cases, including when X is a homogeneous space or a curve. The theory is illustrated by numerous examples, including Veronese varieties, the Segre product of dimensions (1,3,3), and curves. An intermediate result provides a lower bound on the dimension of any GL_n orbit of a homogeneous form.

研究の動機と目的

• 射影的多様体 $X$ に関して、一般のランクを上回るランクを持つ点の構造と幾何的性質を理解すること。
• 一般のランク $g$ よりも大きい $k$ に対して、$W_k = \overline{\{p \in \mathbb{P}^N : \operatorname{rank}_X(p) = k\}}$ の局所を分析すること。
• 高ランク局所の次元を上限付けし、それらと接続多様体との包含関係を確立すること。
• 特に曲線や同次多様体のクラスに対して、最大の可能なランクを特定すること。
• 特に関数が簡潔な同次形式である場合で、特異的または非既約な超曲面を伴う場合でも、$ \mathrm{GL}_n$-軌道の次元に対する下界を提供すること。

提案手法

• 点 $p$ の $X$ に関するランクを、$p$ を含む線形包を生成する $X$ 上の点の最小個数として定義する。
• ランクがちょうど $k$ である点の集合の閉包として $W_k$ を導入し、一般のランクを超える接続多様体の概念を拡張する。
• 重要なネスト結果を確立する：$k > g$ のとき、$W_k$ と $X$ のジョインは $W_{k-1}$ に含まれる。これは $W_k \subseteq W_{k-1}$ を意味する。
• このネスト関係を用いて、$k > g$ のときの $W_k$ の次元に対する上界を導出する。
• 表現論的および幾何的技法を用いて、$ \mathrm{GL}_n$ の作用における同次形式の軌道を分析する。
• 二次曲面への射影と接続の議論を用いて、双次数 $(a,b)$ の曲線のランク局所を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のランク $g$ よりも大きい $k$ に対して、局所 $W_k$ の構造は何か？ また、これらは接続多様体とどのように関係するか？
• RQ2 $k > g$ のとき、$W_k$ の次元を上限付けできるか？ その幾何的性質にどのような影響を与えるか？
• RQ3 与えられた多様体 $X$ に関して、テンソルまたは対称テンソルの最大ランクは何か？ 特に $X$ が曲線または同次多様体である場合。
• RQ4 最大ランクに達する点の集合はどれほど大きいか？ その次元に対する下界を確立できるか？
• RQ5 特に関数が簡潔な同次形式である場合で、関連する超曲面が特異的または非還元的であっても、$ \mathrm{GL}_n$-軌道の次元は何か？

主な発見

• 一般のランク $g$ を超える高ランク局所 $W_k$ はネスト構造を持つ：$W_k \subseteq W_{k-1}$ であり、さらに強く、$W_k$ と $X$ のジョインは $W_{k-1}$ に含まれる。
• 滑らかな二次曲面に埋め込まれた一般の双次数 $(a,b)$ の曲線で、$a \geq 4$、$b \geq 1$ のとき、局所 $W_3$ は空集合であり、最大ランクは 2 である。
• 一般の楕円的四次曲線（双次数 $(2,2)$）において、$W_3$ は元の曲線とは交わらない次数 8 の曲線であり、正確に 4 つのランク 2 の点を持つ。
• 最大ランクの対称テンソルの局所の次元は、少なくとも $\dim \mathrm{GL}_n / \mathrm{Stab}(F)$ 以上であり、$F$ が滑らかでない場合でもこの下限は保たれる。
• $2 \times 2n \times 2n$ テンソルの最大ランクの局所の次元が明示的に計算されている。
• $2 \times 4 \times 4$ テンソルの場合、本稿は一般のランクを超えるすべての点のランクを完全に特徴づけ、それらが特定の代数的集合に含まれることを示している。