[論文レビュー] On the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals

Shōta Inoue|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数の対数およびその反復積分の明示的近似公式を確立し、これらの関数の値分布および非自明な零点と素数の分布との関連に関する新たな知見を可能にする。主な結果は、リーマン予想の下で、反復積分が所定の大きさを超える例外的集合の測度に対する鋭い推定であり、$ V^{1/(m+1)}(\log T)^{m/(m+1)} $ の形で指数的減少が示される。

ABSTRACT

This paper gives some results for the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals. We obtain a certain explicit approximation formula for these functions. The formula has some applications, which are related with the value distribution of these functions and a relation between prime numbers and the distribution of zeros in short intervals.

研究の動機と目的

• リーマン・ゼータ関数の対数およびその反復積分の明示的近似公式を導出すること。
• $ \eta_m(s) = \int \eta_{m-1}(s) dt $ の値分布を、特に臨界線上で分析すること。
• 反復積分 $ S_m(t) $ の成長と非自明な零点の分布、および素数の分布との関連を探索すること。
• リーマン予想の下で、$ |\eta_m(1/2 + it)| $ が所定の閾値 $ V $ を超える集合の測度に対する定量的推定を確立すること。
• リンデレフ予想およびリーマン予想の下での既知の $ S_m(t) $ の結果を統合・拡張すること。

提案手法

• $ \eta_m(s) $ を、$ \log \zeta(s) $ の $ m $ 回反復積分として再帰的に定義し、適切な解析接続を保証するための補正項 $ c_m(\sigma) $ を導入する。
• $[0,1]$ 上に滑らかで compact な台を持つ重み関数 $ f $ を導入し、関連する関数 $ u_{f,H}(x) $、$ v_{f,H}(y) $、および $ U_m(z) $ を、修正された指数積分 $ E_{m+1}^* $ を用いて定義する。
• $ |s - \rho| \leq 1/\log X $ を満たす零点 $ \rho $ の寄与を捉える近似 $ Y_m(s,X) $ を構成する。$ m=0 $ の場合は $ \log((s - \rho)\log X) $ を、$ m \geq 1 $ の場合は多項式和を用いる。
• 擬似関数方程式およびペロン型の公式を用い、$ \eta_m(s) $ を $ n \leq Z $ に対する和に関連づけ、重み $ v_{f,H}(e^{\log n / \log Z}) $ を用いる。
• モーメント推定と指数モーメントの境界を、$ L^2 $-ノルムを用いた素数および整数に対する指数和の方法により適用する。
• 指数モーメント法を用いて、例外的集合 $ \mathscr{T}_m(T,X,V) $ の測度推定を導出し、指数部が $ -c V^{1/(m+1)} (\log T)^{m/(m+1)} $ のガウス型尾部境界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・ゼータ関数の対数およびその反復積分は、零点および算術的データの観点からどのように明示的に近似できるか？
• RQ2 リーマン予想の下で、$ |\eta_m(1/2 + it)| $ が所定の大きさ $ V $ を超える $ t \in [T, 2T] $ の集合の測度はいかほどか？
• RQ3 $ S_m(t) $、すなわち $ S(t) $ の $ m $ 回反復積分の成長率は、リンデレフ予想および零点分布とどのように関連するか？
• RQ4 $ \log \zeta(1/2 + it) $ の値分布と、短区間における素数の分布とは、どのように関連するか？
• RQ5 $ \eta_m(s) $ の近似公式は、$ \eta_m(s) $ が通常の大きさから著しく逸脱する例外的集合に対する鋭い境界を導出するために利用可能か？

主な発見

• $ \eta_m(s) $ に対する明示的近似公式が確立され、これは $ s $ の近傍の零点に関する和と整数に関する算術的和に分解され、誤差の制御が明確にされた。
• リーマン予想の下で、$ |\eta_m(1/2 + it)| > V $ を満たす集合 $ \mathscr{T}_m(T,X,V) $ の測度は、$ \operatorname{meas}(\mathscr{T}_m(T,X,V)) \ll \exp\left( -c_4 V^{1/(m+1)} (\log T)^{m/(m+1)} \log\left(e \frac{V^{(2m+1)/(2m+2)} (\log X)^m}{(\log T)^{m/(2m+2)}} \right) \right) $ を満たす。
• $ V \leq \frac{\log T}{(\log X)^{m+1}} $ の場合、例外的集合の測度は $ \log T $ の任意のべきよりも速く減少し、$ \eta_m(1/2 + it) $ が通常の値のまわりに強く集中していることを示している。
• この境界により、$ S_m(t) = \pi^{-1} \operatorname{Im}(\eta_m(1/2 + it)) $ がリーマン予想の下でほとんど everywhere で $ S_m(t) = o\left( (\log T)^{m/(m+1)} \right) $ を満たすことが示される。
• この結果により、既知の $ S_m(t) $ の境界が強化され、リーマン予想が $ m \geq 3 $ のとき $ S_m(t) = o(T^{m-2}) $ を意味することを示しており、藤井の同値性と整合的である。
• 本手法は、$ \log \zeta(1/2 + it) $ の値分布を研究するための新しい枠組みを提供し、モーメント推定を介して、素数および零点の短区間における分布と結びつける。