[論文レビュー] On the long range correlations of thermodynamic systems out of equilibrium

Lorenzo Bertini, Alberto De Sole+3 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2007

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非平衡熱力学系における2点相関関数の一般式を、非平衡自由エネルギーのハミルトン・ジャコビ方程式を用いて導出する。非平衡状態における非線形流体力学的効果によって、長距離相関が一般に生じることを示し、輸送係数に基づいて揺らぎの相関が正または負であるかを判定する基準を提示する。

ABSTRACT

Experiments show that macroscopic systems in a stationary nonequilibrium state exhibit long range correlations of the local thermodynamic variables. In previous papers we proposed a Hamilton-Jacobi equation for the nonequilibrium free energy as a basic principle of nonequilibrium thermodynamics. We show here how an equation for the two point correlations can be derived from the Hamilton-Jacobi equation for arbitrary transport coefficients for dynamics with both external fields and boundary reservoirs. In contrast with fluctuating hydrodynamics, this approach can be used to derive equations for correlations of any order. Generically, the solutions of the equation for the correlation functions are non-trivial and show that long range correlations are indeed a common feature of nonequilibrium systems. Finally, we establish a criterion to determine whether the local thermodynamic variables are positively or negatively correlated in terms of properties of the transport coefficients.

研究の動機と目的

• フラクチュエーティング・ハイドロダイナミクスを越えて、非平衡系における相関関数を導出する一般枠組みを確立すること。
• 非平衡定常状態において、非線形流体力学的効果によって長距離相関が一般に生じることを示すこと。
• 輸送係数の構造的性質に基づいて、相関の符号（正または負）を特定する基準を導出すること。
• ハミルトン・ジャコビ形式主義を、線形化近似に限定されない任意の次数の相関関数へと一般化すること。

提案手法

• 微視的詳細に依存せず、マクロな輸送係数（拡散および移動度）にのみ依存するハミルトン・ジャコビ方程式の解として、非平衡自由エネルギーを定式化する。
• レジェンドル双対性を用いて、ハミルトン・ジャコビ方程式を生成関数 $ G(\lambda) $ を含む関数方程式に変換する。ここで $ \lambda $ は化学ポテンシャルの摂動を表す。
• 生成関数 $ G(\lambda) $ を $ \lambda $ に関して2次まで展開することで、2点相関関数 $ B(x,y) $ に対する線形偏微分方程式を導出し、空間に関する2階偏微分方程式を得る。
• 部分積分と作用素記法を用いて、方程式 $ L^\dagger B + B L = -h $ を導出する。ここで $ h $ は乗法作用素であり、$ L^\dagger $ は流体力学的ダイナミクスに関連する微分作用素である。
• 特定のモデル（例：排他過程およびKMP過程）に対して、得られた方程式を解き、非自明な長距離挙動を示す。
• 相関の符号が、移動度の微分 $ \chi' $ と平均電流 $ \bar{J} $ に依存することを示し、関係式 $ \partial_i(\chi'_{ij} D^{-1}_{jk} \bar{J}_k) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平衡自由エネルギーのハミルトン・ジャコビ方程式を用いて、任意の次数の相関関数の式を導出できるか？
• RQ2 非平衡定常状態における長距離相関の符号は、何によって決定されるか？
• RQ3 輸送係数（特に拡散および移動度）は、2点相関関数の構造をどのように支配するか？
• RQ4 局所平衡が成立するにもかかわらず、なぜ非平衡系に長距離相関が生じるのか？
• RQ5 ハミルトン・ジャコビアプローチは、フラクチュエーティング・ハイドロダイナミクスの枠組みを超えて、非平衡揺らぎをどの程度一般化して記述できるか？

主な発見

• 2点相関関数 $ B(x,y) $ は、ハミルトン・ジャコビ方程式から導かれる線形偏微分方程式を満たし、その式には定常状態における輸送係数が明示的に含まれる。
• 相関方程式の解は非自明な長距離挙動を示し、非線形流体力学的効果によって長距離相関が非平衡系の一般的特徴であることを確認する。
• 局所的熱力学変数間の相関の符号は、$ \partial_i(\chi'_{ij} D^{-1}_{jk} \bar{J}_k) $ の組み合わせによって決定され、移動度の微分と電流に依存する。
• 一定外部場が作用する排他過程およびKMP過程において、導出された相関関数は既知の結果の特殊ケースと一致し、フレームワークの妥当性を検証する。
• このアプローチは外部場および境界リザボアを有する系にも適用可能であり、任意次元および任意の輸送係数にまで拡張可能である。
• この方法により、フラクチュエーティング・ハイドロダイナミクスの主要な制限である高次相関関数の式の導出が可能になる。