[論文レビュー] On the longest common subsequence of independent random permutations invariant under conjugation

Mohamed Slim Kammoun|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、共役変換に関して不変な独立したランダム置換のペアにおける最長共通部分列（LCS）の期待長さの漸近的下界を確立する。σ₁⁻¹∘σ₂ の最長増加部分列を分析することで、1つの置換の分布が共役変換に関して不変で、そのサイクル数が適切に制御されている場合、LCSの期待値が 2√n のオーダー以上であることを証明する。主な結果は、第二の置換の分布に関する仮定がなくとも、弱い条件下でLCSのフラクチュエーションがトレーシー・ワイドマン分布に収束することである。

ABSTRACT

Bukh and Zhou conjectured that the expectation of the length of the longest common subsequence of two i.i.d random permutations of size $n$ is greater than $\sqrt{n}$. We prove in this paper that there exists a universal constant $n_1$ such that their conjecture is satisfied for any pair of i.i.d random permutations of size greater than $n_1$ with distribution invariant under conjugation. We prove also that asymptotically, this expectation is at least of order $2\sqrt{n}$ which is the asymptotic behaviour of the uniform setting. More generally, in the case where the laws of the two permutations are not necessarily the same, we gibe a lower bound for the expectation. In particular, we prove that if one of the permutations is invariant under conjugation and with a good control of the expectation of the number of its cycles, the limiting fluctuations of the length of the longest common subsequence are of Tracy-Widom type. This result holds independently of the law of the second permutation.

研究の動機と目的

• BukhとZhou（2016）が提起した予想、E[LCS] ≥ √n をi.i.d.ランダム置換に対して解明すること。
• 少なくとも1つの置換の分布が共役変換に関して不変である場合のE[LCS]の鋭い漸近的下界を確立すること。
• 特にトレーシー・ワイドマンのフラクチュエーションを特定することを含め、共役変換不変分布におけるLCS長の極限分布を同定すること。
• 2つの置換が異なる分布を持つ場合でも、結果をi.i.d.の場合を超えて拡張するために境界を導出すること。

提案手法

• LCS(σ₁, σ₂) = ℓ(σ₁⁻¹ ∘ σ₂) という恒等式を用い、問題を合成写像の最長増加部分列（LIS）の研究に還元する。
• Sₙ 上の一様分布および対合写像上の分布との比較技術を適用して下界を導出する。
• 共役変換不変な σ₁,n と一様ランダム置換とのカップリングを用いてフラクチュエーションを制御する。
• 一様ランダム置換のLISにおけるトレーシュ・ワイドマン極限定理の既知の結果を活用する。
• バーシク・ケロフ・ローガン・シップの極限形状と、Ω(s) を含む積分で定義される関数 G を用いて漸近定数を特徴付ける。
• Jensenの不等式とサイクル数および固定点における集中不等式を用いて、最終的な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのi.i.d.共役変換不変なランダム置換のLCS期待値は、漸近的に √n を超えるか？
• RQ2 固定点の確率が消える条件のもとで、E[LCS] に対して 2√n のオーダーの下界を確立できるか？
• RQ3 σ₁,n が共役変換不変でサイクル数が少ないとき、LCS(σ₁,n, σ₂,n) の極限フラクチュエーションは何か？
• RQ4 2つの置換が異なる分布を持つが、片方が共役変換不変であるとき、LCS期待値はどのように振る舞うか？
• RQ5 片方の置換が共役変換不変である場合、第二の置換の分布に何の仮定も設けない限り、LCSフラクチュエーションの普遍的極限はトレーシー・ワイドマン分布か？

主な発見

• i.i.d.共役変換不変置換に対して、lim infₙ→∞ E[LCS]/√n ≥ 2 が成り立ち、Bukh-Zhou予想の強化版が確認された。
• 共役変換不変性と固定点確率の消滅の下で、E[LCS]/√n → 2 が期待値として成り立ち、分布収束としてトレーシー・ワイドマン分布に収束する。
• σ₁,n の期待サイクル数が o(√n) であれば、LCS(σ₁,n, σ₂,n)/√n は分布収束としてトレーシー・ワイドマン分布に収束する。
• G がランダム置換の極限形状から導かれる関数であるとき、E[LCS]/√n ≥ G⁻¹(𝔼[#(σ₁,n)/(2n)]) という下界が確立された。
• 下界の漸近定数は 2√θ ≈ 0.564 であり、θ は G(2√x) = (2 + x)/12 を満たす。
• 結果は普遍的である：σ₂,n の分布に関するいかなる仮定も必要なく、任意または非不変であっても成り立つ。