[論文レビュー] On the Lovász Theta function for Independent Sets in Sparse Graphs

Nikhil Bansal, Anupam Gupta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最大次数 d のグラフにおける最大独立集合問題に対する Lovász θ関数の SDP の整数性ギャップを、˜O(d/log d) から ˜O(d/log^{3/2}d) に改善する。これは、Kr 無しグラフにおける独立集合に関する新たなラマヌジャン的境界を活用した結果である。また、ヨハンソンの彩色法を用いて、より強い SA+ ハイアラルキーの非構成的結果をアルゴリズム的結果に変換し、˜O(d/log^2 d) の近似比を達成した。これは、一意ゲーム予想下での最高の既知の下界と一致する。

ABSTRACT

We consider the maximum independent set problem on graphs with maximum degree~$d$. We show that the integrality gap of the Lovász $\vartheta$-function based SDP is $\widetilde{O}(d/\log^{3/2} d)$. This improves on the previous best result of $\widetilde{O}(d/\log d)$, and almost matches the integrality gap of $\widetilde{O}(d/\log^2 d)$ recently shown for stronger SDPs, namely those obtained using poly-$(\log(d))$ levels of the $SA^+$ semidefinite hierarchy. The improvement comes from an improved Ramsey-theoretic bound on the independence number of $K_r$-free graphs for large values of $r$. We also show how to obtain an algorithmic version of the above-mentioned $SA^+$-based integrality gap result, via a coloring algorithm of Johansson. The resulting approximation guarantee of $\widetilde{O}(d/\log^2 d)$ matches the best unique-games-based hardness result up to lower-order poly-$(\log\log d)$ factors.

研究の動機と目的

• 最大次数が有界なグラフにおける最大独立集合問題の標準的 SDP の近似比と整数性ギャップの差を埋める。
• 従来の ˜O(d/log d) の Lovász θ関数 SDP の整数性ギャップを、Kr 無しグラフにおけるより強いラマヌジャン的境界を活用することで改善する。
• SA+ ハイアラルキーの ˜O(d/log^2 d) の整数性ギャップに関する非構成的結果をアルゴリズム的結果に変換し、UGC 下での最高の既知の下界と一致する。
• 標準的 SDP リラクゼーションが、昇格なしでも従来の認識よりも強力であることを示し、よりタイトな整数性ギャップを証明する。

提案手法

• 大きな r に対して Kr 無しグラフの独立数に関する新たなラマヌジャン的境界を導出し、疎なグラフの構造的理解を向上させる。
• 改善されたラマヌジャン境界を用いて、標準的 Lovász θ関数 SDP リラクゼーションの整数性ギャップに対するよりタイトな上界を確立する。
• ヨハンソンの彩色アルゴリズムを適用し、非構成的 SA+ ハイアラルキー結果を効率的な近似アルゴリズムに変換する。
• モーメント集中不等式と Lovász 局所補題を用いて、確率的ラウンド処理におけるレアイベントの確率を分析する。
• シェーラーとアロンのエントロピーに基づく解析を、昇格された SDP の局所分布の構造と組み合わせ、独立数の上界を求める。
• SA+ ハイアラルキーの局所分布の性質を活用し、任意の polylog(d) サイズの部分グラフに大きな独立集合が含まれることを主張し、グローバルな上界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数が有界なグラフにおける標準的 Lovász θ関数 SDP の整数性ギャップは、˜O(d/log d) を超えて改善可能か？
• RQ2 r が大きいとき、Kr 無しグラフの独立数に対するタイトなラマヌジャン的境界は何か？
• RQ3 SA+ ハイアラルキーの非構成的整数性ギャップ結果を、疎なグラフにおける独立集合問題に対してアルゴリズム化可能か？
• RQ4 標準的 SDP リラクゼーションは、有界次数グラフにおいて、従来の SDP 基盤の近似アルゴリズムをどれほど上回るか？

主な発見

• 最大次数 d のグラフにおける最大独立集合問題の標準的 Lovász θ関数 SDP の整数性ギャップは、˜O(d/log^{3/2}d) 未満である。
• これは、従来の ˜O(d/log d) の最良の既知の境界を改善したものであり、昇格なしで初めてのこのような改善である。
• この改善は、大きな r に対する Kr 無しグラフの独立数に関する新たなラマヌジャン的境界に起因し、これまではよりタイトである。
• ヨハンソンの彩色法を用いて、SA+ ハイアラルキーの ˜O(d/log^2 d) の整数性ギャップに関するアルゴリズム的結果が得られ、˜O(d/log^2 d)-近似アルゴリズムが得られた。
• 得られた近似保証は、poly(log log d) 要因を除いて、UGC 下での最高の既知の下界と一致する。
• 本稿は、標準的 SDP が従来の認識よりも強力であることを示しており、以前の SDP 基盤のアルゴリズムよりもより良い整数性ギャップを達成している。