[論文レビュー] On the lower bound of energy functional E_1 (I)-- a stability theorem on the Kaehler Ricci flow

Xiuxiong Chen|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の第一チャーン類をもつコンパクトなケーラー多様体上のケーラー・リッチフローについて、安定性定理を確立する。初期計量がエネルギー汎関数 $E_1$ において、リッチ曲率が下から有界で、リーマン曲率が $L^∞$ で有界な意味でケーラー＝アインシュタイン計量に十分近い場合、フローは指数関数的にケーラー＝アインシュタイン計量に収束することを証明する。主な貢献は、初期に曲率のピンチングが失われた後でも再回復できる、新規の反復スキームの導入であり、ピンチング条件を全期間にわたって維持する必要がないにもかかわらず、一様な曲率バインディングと収束を実現する。

ABSTRACT

In the present paper, we prove a stability theorem for the Kaehler Ricci flow near the infimum of the functional E_1 under the assumption that the initial metric has Ricci > -1 and |Riem| bounded. At present stage, our main theorem still need a topological assumption (1.2) which we hope to be removed in subsequent papers. The underlying moral is: if a Kaehler metric is sufficiently closed to a Kaehler Einstein metric, then the Kaehler Ricci flow converges to it. The present work should be viewed as a first step in a more ambitious program of deriving the existence of Kaehler Einstein metrics with an arbitrary energy level, provided that this energy functional has a uniform lower bound in this Kaehler class.

研究の動機と目的

• 正の第一チャーン類をもつケーラー類において、エネルギー汎関数 $E_1$ の最小値付近におけるケーラー・リッチフローの安定性定理を確立すること。
• $E_1$-エネルギーと曲率ノルムにおいてケーラー＝アインシュタイン計量に十分近い計量が、ケーラー・リッチフローに従ってケーラー＝アインシュタイン計量に至ることを証明すること。
• $L^∞$ ノルムが一様に有界のままであるように、曲率の $L^∞$ ノルムが保たれる条件を提供し、初期の局所的ピンチング条件を必要としない収束を可能にすること。
• リッチフローにおける古典的な曲率ピンチング定理を、ピンチングが初期に失われる可能性があるが周期的に回復できるケーラー設定に一般化すること。

提案手法

• リッチ曲率 $Ric > -1 + \delta$、リーマン曲率 $|Riem| < \Lambda$、および $E_1$ がその最小値に近い条件を満たすケーラー計量の部分空間 $\mathcal{A}(\delta,\Lambda,\epsilon)$ を導入する。
• ケーラー・リッチフローに沿って $E_1$ が減少することを用いて、トレースレス・リッチテンソルの $L^2$ ノルムを制御する。
• ソボレフおよびパoincaré不等式を適用して、トレースレス・リッチテンソルの $L^2$ ノルムを推定し、局所的バインディングを得る。
• 初期損失後に再び局所的リッチピンチングを回復できるように、'移動'時間区間におけるモーザー反復スキームを実装する。
• 時間経過におけるリーマン曲率テンソルの $L^p$ ノルムを制御するためのコンパクトネス補題を確立する。
• 曲率制御の反復的適用により、リッチ曲率がケーラー形式に一様に収束することを示し、フローの指数的収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期計量が $E_1$-最小値に近い場合、どのような幾何的条件下でケーラー・リッチフローはケーラー＝アインシュタイン計量に収束するか？
• RQ2 ピンチングが初期に失われるとしても、ケーラー・リッチフローにおいて動的にピンチングを回復できるか？
• RQ3 ケーラー＝アインシュタイン計量をもたないケーラー類において、$E_1$ 汎関数は下から有界であるか？ その下界を示す幾何的条件は何か？
• RQ4 ケーラー＝アインシュタイン計量が存在しない状況において、複素構造の安定性はケーラー・リッチフローの収束にどのように影響するか？
• RQ5 $L^p$ ノルム（$p > n+1$）が、曲率の $L^\infty$ 界を置き換えることで、長期間の存在と収束を保証できるか？

主な発見

• 任意の $\delta, \Lambda > 0$ に対して、$\epsilon(\delta, \Lambda) > 0$ が存在し、$E_1(g) \leq \inf E_1 + \epsilon$ かつ $Ric(g) > -1 + \delta$、$|Riem(g)| < \Lambda$ ならば、ケーラー・リッチフローは指数関数的にケーラー＝アインシュタイン計量に収束する。
• 推定値 $\epsilon(\delta, \Lambda) \leq \left(\frac{1}{\Lambda}\right)^{2n} \delta \cdot \epsilon_0(n)^2$ が提供されているが、これは最適ではない。
• $p > n+1$ に対して、リーマン曲率テンソルの $L^p$ ノルムは一様に有界であり、特異的でないフローの進化を保証する。
• モーザー反復スキームにより、初期時間区間を経て局所的リッチピンチングが回復され、曲率の $L^\infty$ ノルムの制御が可能になる。
• リッチ曲率は一様にケーラー形式に収束する：$t \to \infty$ のとき $\max_{x \in M} |Ric(g(t)) - \omega_{g(t)}| \to 0$ であり、指数的減衰を示す。
• 複素曲面では、微分同相写像下での複素構造の安定性により、追加の仮定なしに収束が保証され、定理6の証明が完成する。