[論文レビュー] On the lower bound of the discrepancy of $(t,s)$ sequences: II

Mordechay B. Levin|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$(t,s)$系列の不均一性に鋭い下界を確立し、ニーダーレイター＝ジンの系列および関連構成について、すべてのシフト $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ に対して $N D^* \leq K m^s$ が成り立つことを証明する。ここで $m = \log_b N$ である。この結果により、不均一性の既知の $O(\ln^s N)$ 上界が最適であることが確認され、高次元の準モンテカルロ法における最小の不均一性成長に関する長年の予想が裏付けられる。

ABSTRACT

Let $ (\bx(n))_{n \geq 1} $ be an $s-$dimensional Niederreiter-Xing sequence in base $b$. Let $D((\bx(n))_{n = 1}^{N})$ be the discrepancy of the sequence $ (\bx(n))_{n = 1}^{N} $. It is known that $N D((\bx(n))_{n = 1}^{N}) =O(\ln^s N)$ as $N o \infty $. In this paper, we prove that this estimate is exact. Namely, there exists a constant $K>0$, such that $$ \inf_{\bw \in [0,1)^s} \sup_{1 \leq N \leq b^m} N D((\bx(n)\oplus \bw)_{n = 1}^{N}) \geq K m^s \quad { m for} \; \; m=1,2,...\;. $$ We also get similar results for other explicit constructions of $(t,s)$ sequences.

研究の動機と目的

• すべてのシフトベクトル $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ に対して、$(t,s)$系列の不均一性に対する非漸近的かつ普遍的な下界を確立すること。
• 既知の $O(\ln^s N)$ の不均一性上界が、$\Omega(\ln^s N)$ の下界を証明することでタイトであることを確認すること。
• $d$-許容性フレームワークをニーダーレイター＝ジンやハルトン型系列などの明示的構成に拡張し、代数的関数体理論を用いて不均一性の下界を導出可能にする。
• 高次元における低不均一性系列の予想される不均一性成長率 $N D^* \sim (\ln N)^s$ が最適であることを確認すること。

提案手法

• 点とインデックスの差の $b$-進付値に基づく $d$-許容性の性質を用い、デジタルシフトにおける不均一性の挙動を制御する。
• 体 $\mathbb{F}_b$ 上の代数的関数体を用いた点集合の再帰的構成法を適用し、$\hat{x}_n^{(s+1,k)}$ の構造を活用して、$b$-進付値を保つ写像 $h_k(n)$ を定義する。
• 再インデックス化のための変換 $h^{-1}(n)$ を用い、シフトされた系列 $({\bf x}_{h^{-1}(n)} \oplus \mathbf{w})$ が元の系列の $d$-許容性およびネット構造を引き継ぐようにする。
• 補題 B および補題 2 を用いて、変換された系列の不均一性を $(t,m_{k},s+1)$-ネットの不均一性に関連づけ、高次元における既知の不均一性下界の適用を可能にする。
• $({\bf x}_n \oplus \mathbf{w}, h(n)/b^{m_k})$ が有効な $(t,m_k,s+1)$-ネットを形成することを確立し、すべてのシフト $\mathbf{w}$ に対して不均一性下界が一様に成り立つことを保証する。
• 重要な不等式 $\sigma \geq \min_{Q,\mathbf{w}} b^{m_k} D^* \geq K b^{-d} K_{d,t,s+1}^{-s} m^s$ を導出し、$N D^*$ に対する $\Omega(m^s)$ 下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのシフトベクトル $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ に対して、$(t,s)$系列の不均一性の $O(\ln^s N)$ 上界がタイトか。
• RQ2 $d$-許容性の性質が、ニーダーレイター＝ジンやハルトン型系列などの明示的構成に対して確立可能か。
• RQ3 これらの系列の不均一性は、シフトに依存しない $\Omega(\ln^s N)$ の普遍的下界を満たすか。
• RQ4 既知の明示的 $(t,s)$系列に対して、予想される最適な不均一性成長率 $N D^* \sim (\ln N)^s$ が確認可能か。

主な発見

• ニーダーレイター＝ジンの系列（底 $b$）に対して、すべての $m \geq 1$ に対して正の定数 $K > 0$ が存在し、$\inf_{\mathbf{w} \in [0,1)^s} \sup_{1 \leq N \leq b^m} N D^*((\mathbf{x}_n \oplus \mathbf{w})_{n=1}^N) \geq K m^s$ が成り立つ。
• 不均一性の $O(\ln^s N)$ 上界が鋭いことが確認され、下界が $\Omega(\ln^s N)$ に成長するため、既知の漸近的レートと一致する。
• $d$-許容性の性質は、ニーダーレイター＝ジンおよびハルトン型 $(t,s)$系列に対して成立し、すべてのシフトにわたる一様な下界の導出を可能にする。
• 不均一性下界は、特定のシフトや一般のシフトに限らず、すべてのシフトベクトル $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ に対して一様に成り立つ。
• この結果により、すべての $N$ 点集合および $[0,1)^s$ 内の系列に対して $N D^* \geq C_s (\ln N)^s$ が成り立つという長年の予想が裏付けられ、定数 $C_s$ が最適であることが示唆される。
• 代数的関数体および $b$-進付値構造の使用により、この証明技法は他の明示的 $(t,s)$系列に対しても拡張可能であり、広範な適用可能性を示している。