[論文レビュー] On the Luttinger theorem concerning number of particles in the ground states of systems of interacting fermions

Behnam Farid|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2007

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、短距離相互作用を有する系（たとえば格子模型など）において、相互作用の強さにかかわらず、相互作用 fermion に対する Luttinger 定理の条件なしでの有効性を厳密に再検討している。摂動的自己エネルギー展開の骨格図における一様収束性を示し、零温度極限を分析することで、顕在的な違反は、誤った Green 関数や誤った適用によるものであることが示され、唯一の例外は、誤った零温度極限が原因で真の失敗を引き起こす絶縁状態のケースに限る。

ABSTRACT

We analyze the original proof by Luttinger and Ward of the Luttinger theorem, according to which for uniform ground states of systems of (interacting) fermions, which may be metallic or insulating, the number of k points corresponding to non-negative values of G_s(k;mu) is equal to the total number of particles with spin index s in these ground states. Here G_s(k;mu) is the single-particle Green function of particles with spin index s at the chemical potential mu. For the cases where the two-body interaction potential is short-range, and in particular for lattice models, we explicitly demonstrate that this theorem is unconditionally valid, irrespective of the strength of the bare interaction potential. We arrive at this conclusion by amongst other things demonstrating that the perturbation series expansion for self-energy in terms of skeleton diagrams, as encountered in the proof of the Luttinger-Ward identity, is uniformly convergent for almost all momenta and energies. We further investigate the mechanisms underlying some reported instances of failure of the Luttinger theorem. With one exception, for all the cases considered in this paper, we show that the apparent failures of the Luttinger theorem can be attributed either to shortcomings of the employed single-particle Green functions or to misapplication of this theorem. The one exceptional case brings to light the possibility of a genuine failure of the Luttinger theorem for insulating ground states, which we show to be brought about by a false limit that in principle can be reached on taking the zero-temperature limit without the value of mu coinciding with the zero-temperature limit of the chemical potential satisfying the equation of state at finite temperatures; no such ambiguity can arise for metallic states.

研究の動機と目的

• 短距離相互作用を有する系における、金属的および絶縁的相を含む一様な基底状態における、相互作用 fermion に対する Luttinger 定理の再表現および厳密な妥当性の確認。
• Green 関数の定義や定理の誤用に起因する、Luttinger 定理の違反報告を解消する。
• 零温度極限を誤ってとった場合に真の失敗が生じ得る、絶縁状態における例外的なケースを調査する。
• 格子模型における、ほぼすべての運動量およびエネルギーについて、骨格図における摂動的自己エネルギー級数の一様収束性を確立する。
• 零温度極限における Luttinger 数が、占有数の和に等しくなる条件を明確にする。

提案手法

• 自己エネルギーの骨格図展開と摂動論を用いて、元々の Luttinger-Ward 証明を分析する。
• ほとんどすべての $\mathbf{k}$ および $z$ に対して、級数 $\sum_{\nu=1}^{\infty}\tilde{\Sigma}_{\sigma}^{(\nu)}(\mathbf{k};z)$ の一様収束性を示し、数学的堅牢性を保証する。
• 零温度極限における占有数 $\bar{\nu}_{\sigma}^{(1)}(\mathbf{k})$ の評価に、輪郭積分技術を適用し、正則性および無限遠における減衰に注目する。
• 大 $|z|$ における Green 関数 $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ および自己エネルギー $\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ の漸近展開を用いて、被積分関数の振る舞いを評価する。
• $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)\partial\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)/\partial z$ の $z = \mu$ 近傍での振る舞いを調査し、占有数極限の有界性を決定する。
• 特に一次元 Luttinger モデルにおいて、局所極限における対称および非対称の場合を検討し、定理の頑健性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短距離相互作用を有する相互作用 fermion 系において、Luttinger 定理が条件なしで有効となるのはどのような条件下か？
• RQ2 一部の研究で顕在的な Luttinger 定理の違反が報告されているが、これは Green 関数や自己エネルギーの定義における技術的欠陥に起因するのか？
• RQ3 Luttinger 定理の真の失敗が絶縁状態の基底状態で生じ得るのか、そのような場合の動的または熱力学的条件は何か？
• RQ4 格子模型において、骨格図における自己エネルギーの摂動的展開が、すべての関連する運動量およびエネルギーについて一様収束するか？
• RQ5 占有数 $\bar{\nu}_{\sigma}^{(1)}(\mathbf{k})$ の零温度極限はどのように振る舞い、Green 関数の特異性にもかかわらず、何がその有界性を保証するのか？

主な発見

• 短距離相互作用を有する系、特に格子模型において、反発的相互作用の強さにかかわらず、Luttinger 定理は条件なしで有効である。
• 骨格図における自己エネルギーの摂動的級数は、ほとんどすべての $\mathbf{k}$ および $z$ に対して一様収束するため、Luttinger-Ward 恒等式の数学的整合性が保証される。
• 過去の研究で報告された Luttinger 定理の顕在的違反は、誤った Green 関数や定理の誤用に起因しており、定理自体の欠陥によるものではない。
• 一次元 Luttinger モデルにおいて、$\lim_{\beta\to\infty}\bar{\nu}_{\sigma}^{(2)}(\mathbf{k})$ は、$k=0$ および $k\neq0$ のすべての $\mathbf{k}$ に対して有界であり、被積分関数の減衰が $1/y$ より遅いことによる。
• $k=0$ では、被積分関数の一次近似は $\sim - (1-2\gamma_0)/iy$ となり、純虚数であり、可積分である。
• 真の失敗が生じ得る唯一のケースは、絶縁状態において、零温度極限を誤ってとった場合であり、その場合 $\mu$ が有限温度の状態方程式と一致しない。