[論文レビュー] On the Manin-Mumford and Mordell-Lang conjectures in positive characteristic

Damian Rössler|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は正標数において論理的含意を確立する：アーベル多様体の関数体上の曲線の関数体上でのモーデル＝ラング予想は、群が有限生成であるとき、マニン＝ムーフォード予想を含意する。フロベニウスおよびバーシエーブン射影を含む代数幾何的技法を用いて、部分多様体の平行移動におけるねじれ点の集合がザリスキ密でないならば、有限生成部分群との交わりもザリスキ密にはならないことを証明する。これは、この設定におけるモーデル＝ラング予想のモデル理論を用いない証明を提供する。

ABSTRACT

We prove that in positive characteristic, the Manin-Mumford conjecture implies the Mordell-Lang conjecture, in the situation where the ambient variety is an abelian variety defined over the function field of a smooth curve over a finite field and the relevant group is a finitely generated group. In particular, in the setting of the last sentence, we provide a proof of the Mordell-Lang conjecture, which does not depend on tools coming from model theory.

研究の動機と目的

• 正標数におけるマニン＝ムーフォード予想からモーデル＝ラング予想への論理的含意を確立すること。
• 曲線の関数体上の有限体上の関数体上のアーベル多様体の設定において、モーデル＝ラング予想の代数幾何的証明を提供すること。
• 特に、アーベル多様体が通常でない場合に、フラシュフスキーのザリスキ幾何学などのモデル理論的道具に依存しないこと。
• 微分幾何的アプローチとは異なり、ガロア理論的方程式を用いて部分多様体内の例外的集合の構造を分析すること。
• 群が有限生成であり、多様体が関数体上のベース切替によって生じるという仮定の下で、モーデル＝ラング予想がマニン＝ムーフォード予想から導かれるということを示すこと。

提案手法

• 任意の部分多様体の平行移動におけるねじれ点の集合がザリスキ的に密でないという仮定を用い、有限生成部分群との交わりが密であると仮定すると矛盾を導く。
• $A(K)$ 上の $p$-進位相構造を適用し、$A(K)$ 内の収束する点列 $Q_i$ を構成して、極限点 $Q$ を得る。このとき、すべての $l$ に対して $X+Q$ が $p^l \cdot A(K)$ に強く交わることを示す。
• フロベニウス射影 $\mathrm{Frob}_{{\cal A}/S}$ およびバーシエーブン射影 $\mathrm{Ver}$ を用い、$[p^l]^*$ による部分多様体の引き戻しを分析する。フロベニウスによるベース切替を含むカルテジアン図式を用いる。
• バーシエーブンの引き戻し $\mathrm{Ver}^{l,*}$ による還元された引き戻し $\mathcal{X}_1$ を分析し、それが基本スキーム $S$ 上で整かつ滑らかで平坦であることを示す。
• $\mathcal{X}_2 = (\mathrm{Frob}^{l,*}_{{\cal A}/S}(\mathcal{X}_1))_{\mathrm{red}}$ が幾何的に還元され、平坦であることを示し、$({\cal X}_2)^{(p^l)} \cong \mathcal{X}_1$ をフロベニウスによるベース切替で得る。
• ボロフの補題を適用し、$\mathcal{X}_2$ が $S$ 上で滑らかであることを示し、$[p^l]$ の有限性および平坦性を用いて、写像 $\mathcal{X}_2 \to \mathcal{X}^{+Q}$ の全射性を示す。これにより、定理4.1に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数におけるモーデル＝ラング予想は、モデル理論を用いずにマニン＝ムーフォード予想から導けるか。
• RQ2 正標数におけるモーデル＝ラング予想を証明する際、フラシュフスキー＝ジルバーやその類縁理論のようなモデル理論的手法に代わる代数幾何的道具は何か。
• RQ3 フロベニウスおよびバーシエーブン射影は、関数体上のアーベル多様体の部分多様体における有理点の密度を分析するためにどのように役立つか。
• RQ4 $A(K)$ における $p$-進位相構造および点列の収束は、密度仮定に対する反例を構成する際に果たす役割は何か。
• RQ5 ガロア理論的方程式を用いて、微分幾何的アプローチとは異なり、部分多様体内の例外的集合の構造を分析できるか。

主な発見

• 群が有限生成であり、多様体が有限体上の曲線の関数体上のアーベル多様体から生じるという条件下で、マニン＝ムーフォード予想は、関数体上の曲線の関数体上のアーベル多様体におけるモーデル＝ラング予想を含意する。
• フラシュフスキーのザリスキ幾何学などのモデル理論的道具に依存せず、完全に代数幾何的証明を提供する。
• 極限点 $Q$ を構成し、すべての $l$ に対して $X+Q$ が $p^l \cdot A(K)$ に強く交わることを示す。これにより、ねじれ点が密でないという仮定に矛盾する。
• 射影 $\mathrm{Ver}^{l,*}(\mathcal{X}^{+Q})$ は、$S$ 上で整かつ滑らかなスキームの直和であることが示され、そのうちの一つの成分 $\mathcal{X}_1$ を選び、そのフロベニウス引き戻しにより還元され、平坦かつ滑らかなスキーム $\mathcal{X}_2$ が得られる。
• $({\cal X}_2)^{(p^l)} \cong \mathcal{X}_1$ および $\mathcal{X}_2 \to \mathcal{X}^{+Q}$ の全射性から、$\mathcal{X}^{+Q}$ の $\bar{k}$-点がすべて $\mathcal{X}^{+Q}(S^{\rm sh}) \cap p^l \cdot \mathcal{A}(S^{\rm sh})$ に引き伸ばせることを示し、これにより定理4.1に矛盾する。
• この手法はブイウムの微分幾何的アプローチやフラシュフスキーのモデル理論的技法とは異なり、例外的集合 $\mathrm{Exc}$ を分析するためにガロア方程式を用いる。