[論文レビュー] On the martingale probem associated to the 2D and 3D Stochastic Navier-Stokes equations

Giuseppe Da Prato, Arnaud Debussche|ArXiv.org|May 13, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無限次元ヒルベルト空間におけるマーティングル問題と、関連するコルモゴロフ作用素の無限小生成作用素の関係を分析することにより、2次元および3次元の確率的ナビエ＝ストークス方程式のマーティングル問題を考察する。2次元では、コルモゴロフ作用素の明示的コアを確立し、古典的議論により一意性を示す。3次元では、解が正則性を保つまでの時間までの一意性を示すために、修正されたコルモゴロフ作用素を導入し、修正された半群とフェยマン＝カック型推移法を用いる。

ABSTRACT

We consider the martingale problem associated to the Navier-Stokes in dimension 2 or 3. Existence is well known and it has been recently shown that markovian transition semi group associated to these equations can be constructed. We study the Kolmogorov operator associated to these equations. It can be defined formally as a differential operator on an infinite dimensional Hilbert space. It can be also defined in an abstract way as the infinitesimal generator of the transition semi group. We explicit cores for these abstract operators and identify them with the concrete differential operators on these cores. In dimension 2, the core is explicit and we can use a classical argument to prove uniqueness for the martingale problem. In dimension 3, we are only able to exhibit a core which is defined abstractly and does not allow to prove uniqueness for the martingale problem. Instead, we exhibit a core for a modified Kolmogorov operator which enables us to prove uniqueness for the martingale problem up to the time the solutions are regular.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間におけるマーティングル遷移半群の抽象的無限小生成作用素と、コルモゴロフ作用素の具体的な微分形式との間の関係を明確化すること。
• 2次元におけるコルモゴロフ作用素の明示的コアを確立し、マーティングル問題における古典的一意性議論を可能にすること。
• 3次元における明示的コアの欠如を補うために、修正されたコルモゴロフ作用素を導入し、解が正則性を保つまでの時間までの一意性の証明を可能にすること。
• フェイマン＝カック型指数関数的関数を用いて定義される修正された半群 $ S_t $ を活用し、コンパクト性議論に不可欠な滑らかさと事前推定を得ること。
• ノイズに最小限の仮定（トレースクラス、非退化、$ \text{Tr}((-A)^{1+g}Q) < \fty $）を置いた状況下で、3次元の完全な場合へのマーティングル遷移半群の構成を拡張すること。

提案手法

• マーティングル遷移半群 $ P_t $ の無限小生成作用素としてコルモゴロフ作用素 $ L $ を定義し、コア領域上で形式的微分作用素 $ L\varphi(x) = \frac{1}{2}\text{Tr}\{QD^2\varphi(x)\} + (Ax + b(x), D\varphi(x)) $ と同一視する。
• ガラーキン近似上で、$ S_t^m\varphi(x) = \mathbb{E}\left[ e^{-K\int_0^t |AX(s,x)|^2 ds} \varphi(X(t,x)) \right] $ により定義される修正された半群 $ S_t^m $ を構成し、正則性を高めるための減衰因子を導入する。
• 恒等式 $ P_t^m\varphi = S_t^m\varphi + K\int_0^t S_{t-s}^m(|A\cdot|^2 P_s^m\varphi) ds $ を用いて、$ S_t^m $ からの推定を $ P_t^m $ へと移すことで、コンパクト性議論を可能にする。
• 確率的畳み込み $ Z(t) = \int_0^t e^{(t-s)A}\sqrt{Q} dW(s) $ を制御するために、因数分解法を適用し、$ \epsilon < g $ に対して $ \mathbb{E}[\sup_t |Z(t)|_{2+\epsilon}^h] \leq C $ を証明する。
• 非線形項 $ b(Y+Z) $ をガリャルド＝ニレングラートおよびソボレフ埋め込みを用いて推定することで、$ |Y(t)|_{2}^2 $ に関する事前推定を導出する。
• Gronwall型の議論を用いて、$ \exp\left(-c\int_0^t |X(s,x)|^2 |X(s,x)|_1^2 ds\right) $ を含む指数型モーメントの境界を導出し、$ |X(t,x)|_1^k $ のモーメント制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の確率的ナビエ＝ストークス方程式に関連するコルモゴロフ作用素に対して、明示的コアを特定できるか。これにより、古典的議論による一意性証明が可能になるか。
• RQ2 3次元の場合、標準的なコアがマーティングル問題の一意性を保証できないのはなぜか。修正された作用素は、これを克服できるか。
• RQ3 減衰因子 $ e^{-K\int |AX|^2 ds} $ を含む修正された半群 $ S_t $ を用いることで、3次元において一様推定とコンパクト性をどのように得られるか。
• RQ4 トレースクラスで非退化なノイズ構造が、マーティングル過程の存在とフェイマン＝カック表現の有効性に果たす役割は何か。
• RQ5 指数的重み付けと確率的積分法を用いて、$ |X(t,x)|_1 $ および $ |AX(t,x)| $ のモーメント推定をどの程度制御できるか。

主な発見

• 2次元では、コルモゴロフ作用素の明示的コアが特定され、マーティングル問題におけるパスごとの一意性を古典的議論により証明可能である。
• 3次元では、元のコルモゴロフ作用素に対して明示的コアは存在しないが、修正された作用素 $ N\varphi = L\varphi - K|Ax|^2\varphi $ を導入することで、解が正則性を保つまでの時間までの一意性の証明が可能になる。
• フェイマン＝カック型指数関数的関数を用いて定義される修正された半群 $ S_t $ は強力な滑らかさを示し、ガラーキン近似から完全系への推定の移行を可能にする。
• 任意の $ k \in \mathbb{N} $、$ \epsilon > 0 $、$ T > 0 $ に対して、$ \mathbb{E}\left[ e^{-\epsilon\int_0^t |(-A)^{1/2}X_m(s,x)|^6 ds} |AX_m(t,x)|^k \right] \leq C(\epsilon,k,T,Q,A)(1 + |Ax|^k) $ が $ m $ に関して一様に成り立ち、緊密性が保証される。
• イトの公式を $ e^{-c\int |X|^2 |X|_1^2 ds} |X|_1^2 $ に適用し、ガリャルド＝ニレングラートおよびパoincaré不等式を用いて境界を制御することで、事前推定が得られる。
• 証明は、$ x \mapsto -\epsilon x^6 + c x^4 $ の有界性および $ \mathbb{E}[\sup_t |Z(t)|_{2+\epsilon}^h] $ の可積分性に依存しており、これは因数分解法とトレースクラスノイズ仮定から導かれる。