[論文レビュー] On the Martingale Property of Certain Local Martingales: Criteria and Applications

Aleksandar Mijatović, Mikhail Urusov|arXiv (Cornell University)|May 22, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、1次元の拡散モデルにおける連続局所 martingale の確率的指数が真の martingale であるか、一様可積分 martingale であるための決定的で必要な十分条件を確立している。基礎となる過程のドリフト係数および拡散係数、関数 b の分析を通じて、過程がほとんど確実に正であるか、0に収束するかを特定する基準を導出し、拡散に基づく資産価格設定モデルにおける金融バブルの検出を可能にする。

ABSTRACT

Abstract. The stochastic exponential Zt = exp{Mt − M0 − (1/2)〈M, M〉t} of a continuous local martingale M is itself a continuous local martingale. We give a necessary and sufficient condition for the process Z to be a true martingale in the case where Mt = R t b(Yu) dWu and 0 Y is a one-dimensional diffusion driven by a Brownian motion W. Furthermore, we provide a necessary and sufficient condition for Z to be a uniformly integrable martingale in the same setting. These conditions are deterministic and expressed only in terms of the function b and the drift and diffusion coefficients of Y. We also classify, via deterministic necessary and sufficient conditions, when the process Z is a.s. strictly positive, when its limit Z ∞ is a.s. strictly positive, and when Z∞ is a.s. zero. This allows us to obtain a deterministic necessary and sufficient condition in the one-dimensional setting for a discounted stock price to be a true martingale under the risk-neutral measure, and for it to be a uniformly integrable martingale. These results enable us to ascertain the existence of financial bubbles in diffusion-based models. Finally, we

研究の動機と目的

• 1次元の拡散設定において、連続局所 martingale の確率的指数が真の martingale であるための決定的で検証可能な条件を同定すること。
• 確率的指数が一様可積分 martingale であるための必要十分条件を導出すること。
• ドリフト、拡散、関数 b を用いて、過程のほとんど確実な正値性およびその極限の分類を行うこと。
• これらの結果を応用し、リスク中立的測度の下で割引株価が真の martingale であるかどうかを特定すること。
• 拡散に基づく資産価格設定モデルにおける金融バブルの検出のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 分析は、Y が Browmian motion W によって駆動される1次元の拡散過程であるような形の連続局所 martingale Mt = ∫₀ᵗ b(Yᵤ) dWᵤ に焦点を当てる。
• Zₜ = exp{Mt − M₀ − ½⟨M, M⟩ₜ} である確率的指数を検討し、それがいつ真の martingale となるかを特定する。
• 基礎となる拡散 Y の経路の性質と関数 b を用いて、必要十分条件を導出する。
• 条件は、経路に関する確率的仮定を一切用いず、Y のドリフト係数および拡散係数、関数 b のみに依存して表現される。
• この手法は、1次元の拡散の構造と、爆発および再帰の分析を通じて、暗黙的に Feller 局所時間またはスケール関数の技術を活用する。
• 結果はリスク中立的価格設定測度に応用され、割引株価の martingale 性の評価がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の拡散設定において、連続局所 martingale の確率的指数が真の martingale であるための決定的条件は何か？
• RQ2 確率的指数が一様可積分 martingale であるとはいつか？ その性質を保証する条件は何か？
• RQ3 確率的指数がすべての有限時刻および極限においてほとんど確実に正であるとはいつか？
• RQ4 確率的指数の極限がほとんど確実に0に収束するのはいつか？
• RQ5 これらの条件を用いて、拡散に基づく資産価格モデルにおける金融バブルをどのように検出できるか？

主な発見

• 確率的指数 Zₜ が真の martingale であるための必要十分条件は、関数 b および基礎となる拡散 Y のドリフト係数と拡散係数のみに依存して表現される。
• Zₜ が一様可積分 martingale であるための決定的で必要十分な条件が提示され、再び b および Y の係数にのみ依存する。
• Zₜ がすべての t ≥ 0 に対してほとんど確実に正であることは、b と Y のスケール関数に関するある積分条件を満たすときにかつそのときに限り成り立つ。
• Z∞ がほとんど確実に正であることは、過程 Y が爆発せず、かつ b がスケール関数に関連する特定の可積分性条件を満たすときにかつそのときに限り成り立つ。
• Z∞ がほとんど確実に0であることは、過程 Y がスケール関数が発散する境界に到達し、かつ b が十分に速く増加するときにかつそのときに限り成り立つ。
• これらの結果により、リスク中立的測度の下で割引株価が真の martingale であるための決定的基準が得られ、1次元の拡散モデルにおける資産価格バブルの検出が可能になる。