[論文レビュー] On the Maslov index of symplectic paths that are not transversal to the Maslov cycle. Semi-Riemannian index theorems in the degenerate case

Roberto Giambò, Paolo Piccione+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、対称双一次形式の孤立特異点における一般化された符号を用いて、非摂動論的理論を構築し、非横断的である可能性のあるラグランジュ路のマスロフ指数を計算する。有限次元および無限次元ラグランジュグラスマンニアンにおける連続的曲線へのマスロフ指数の拡張、共役端点をもつ半リーマン的測地線に対する一般化されたモース指数定理の確立、および実解析的パスにおける自己随伴フレドホルム作用素のスペクトルフローが、退化点における奇数部分符号の和に等しいことを証明する。

ABSTRACT

We use the notion of generalized signatures at a singularity of a smooth curve of symmetric bilinear forms to determine a formula for the computation of the Maslov index in the case of a real-analytic path having possibly non transversal intersections. We discuss some applications of the theory, with special emphasis on the study of the Jacobi equation along a semi-Riemannian geodesic. The research work exposed in this paper originated from a suggestion given by the third author relating the spectral flow with the partial signatures. He pointed out several references and formulated the statement that in the invertible endpoints case, the spectral flow of a real analytic path of self-adjoint Fredholm operators is given by the sum of the odd partial signatures at each degeneracy instant. In the present version of the article, this statement is part of Proposition 2.9; totally, the contribution of the third author to the theory consists in Definition 2.3, formulas (2.1) and (2.2), the first statement of Proposition 2.4, parts of Remark 2.5, Definition 2.6, and parts of the statement and parts of the proof of Proposition 2.9. Apart from this original contribution, the material contained in this paper was entirely developed and written by the first two authors at the Universita' di Camerino (Italy), Universidade de Sao Paulo (Brazil).

研究の動機と目的

• 有限次元および無限次元シンプレクティック空間における連続的ラグランジュ路のマスロフ指数を定義し、マスロフ円周との交差が横断的でない場合でも可能にする。
• 端点が共役である場合にまで拡張された半リーマン的測地線の古典的モース指数定理を一般化し、退化した第二変分を許容する。
• 対称双一次形式の孤立的退化における一般化された符号を用いた非摂動的公式により、マスロフ指数を定式化する。
• 実解析的パスにおける自己随伴フレドホルム作用素のスペクトルフローと部分符号との関係を明確化する。
• シンプレクティック幾何および半リーマン幾何の文脈において、ペアワイズマスロフ指数、三重および四重指数といったさまざまな指数概念を、一貫した枠組みで統一する。

提案手法

• 滑らかな対称双一次形式の曲線における孤立特異点における一般化された符号を、根関数およびスペクトル射影を用いて定義する。
• 部分符号の概念を用いて、横断的でない場合のマスロフ指数を計算し、退化点における解析的制御を横断的仮定に代える。
• ラグランジュグラスマンニアンを通じてシンプレクティック路に理論を適用し、一般化された符号を用いたマスロフ円周との交差の符号付き数としてマスロフ指数を定義する。
• 実解析的パスにおける自己随伴フレドホルム作用素のスペクトルフローの公式を確立し、退化点における奇数部分符号の和に等しいことを示す。
• マスロフ指数と測地線に沿う共役点構造との関係を示すことにより、半リーマン幾何にこの枠組みを適用する。
• リー群論および極分解を用いて、不定型正規直交群 O(n,k) の連結成分を解析し、g-負定値k次元部分空間のグラスマンニアン上での推移的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マスロフ円周との交差が横断的でない、特に端点でそうであるようなラグランジュ路のマスロフ指数をどのように定義し、計算できるか。
• RQ2 実解析的パスにおける自己随伴フレドホルム作用素のスペクトルフローと、退化点における一般化された符号との正確な関係は何か。
• RQ3 第二変分が退化している場合に、古典的モース指数定理を共役端点をもつ半リーマン的測地線に拡張できるか。
• RQ4 退化点における一般化された符号が、横断的でない場合のマスロフ指数への局所的寄与とどのように関係するか。
• RQ5 退化したシンプレクティック路の文脈において、カシワラの三重指数およびホルンダの四重指数の幾何的・解析的意味は何か。

主な発見

• 有限次元および無限次元シンプレクティック空間における連続的ラグランジュ路のマスロフ指数は、孤立特異点における一般化された符号を用いることで、マスロフ円周との交差が横断的でない場合でも正しく定義可能である。
• 実解析的パスにおける自己随伴フレドホルム作用素のスペクトルフローは、各退化点における奇数部分符号の和に等しく、これは命題2.9で述べられている。
• 共役端点をもつ半リーマン的測地線に対する一般化されたモース指数定理は、マスロフ指数が一般化された符号を用いて重複度を考慮した共役点の数に等しい限り成立する。
• O(n,k) の単位元の連結成分は、g-負定値k次元部分空間のグラスマンニアン上に推移的に作用するため、この空間は弧状連結である。
• ペアワイズ指数、三重指数、四重指数といったさまざまな指数概念は、一般化された符号の枠組みを通じて一貫して定義可能であり、統一される。
• 退化した場合に共役指数とマスロフ指数が常に一致しない反例が構成され、古典的結果の単純な拡張が成り立たないことが示された。