[論文レビュー] On the $\mathcal L$-invariant of the adjoint of a weight one modular form

Martí Roset, Víctor Rotger+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

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ひとこと要約

この論文は、重さ1のモジュラー形式の随伴表現に関連する2つのL-不変量の等価性を証明する。一方はp進L関数の微分を用いた解析的定義、他方はグリーンバーグの普遍ノルム構成による代数的定義である。類体論とグローバル単数およびp-単数のp進対数を用いて、これらの不変量が係数体の乗法的群を法として合同であることを確立し、グリーンバーグの予想を、奇妙な形式（exotic forms）を含む広範な設定において、弱い条件下で確認する。

ABSTRACT

The purpose of this article is proving the equality of two natural $\mathcal L$-invariants attached to the adjoint representation of a weigth one cusp form, each defined by purely analytic, respectively algebraic means. The proof departs from Greenberg's definition of the algebraic $\mathcal L$-invariant as a universal norm of a canonical $\mathbb{Z}_p$-extension of $\mathbb{Q}_p$ associated to the representation. We relate it to a certain $2 imes 2$ regulator of $p$-adic logarithms of global units by means of class field theory, which we then show to be equal to the analytic $\mathcal L$-invariant computed by Rivero and the second author.

研究の動機と目的

• 重さ1のモジュラー形式の随伴表現に関連する2つの異なるL-不変量の等価性を証明する。一方はp進L関数の微分から得られる解析的不変量、他方はグリーンバーグの普遍ノルム構成による代数的不変量である。
• グリーンバーグが特殊な場合（g ∈ S₁(23,η) で p=23）に行った計算を、一般の枠組みへと拡張し、彼の恣意的な計算を概念的かつ広範な文脈に位置づける。
• ガロアコホモロジーとQpのZp拡大を用いて定義される代数的L-不変量が、重さ1のモジュラー形式において、p-区別的で、非誘導的で、かつ既約なmod pガロア表現をもつ場合に、解析的L-不変量と等しいことを確立する。
• 代数的L-不変量をグローバル単数およびp-単数のp進対数を用いて統一的に表す公式を提示し、先行研究の解析的公式と一致させる。
• グリーンバーグの予想（2つのL-不変量が等しいはず）が、弱い追加仮定のもとで、特にα ≠ −βである奇妙な形式においても成り立つことを検証する。

提案手法

• 解析的L-不変量を、s=1におけるp進L関数 Lp(ad₀(gα), s) の1階微分として定義する。これはp進ゼータ関数因数の極のため、値が0になる。
• 因数分解式 Lp(g, g*, s) = ζp(s)Lp(ad₀(gα), s) を用いて、随伴表現のp進L関数と全自己準同型空間のL関数を関連付ける。
• 代数的L-不変量 LGr(ad₀(gα)) をグリーンバーグの構成により定義する：Q上のH¹(Q, ad₀(g)⊗Qp) に由来するグローバルコホモロジー類から得られる、QpのZp拡大からの普遍ノルム。
• 類体論を用いて、普遍ノルムを二次体のヒルベルト類体Hのグローバル単数およびp-単数のp進対数と関連付ける。特に、pにおける分解体H₁に注目する。
• 群環L[∆]における∆-不変な準同型およびイデムポテンスを用いて、コホモロジー類を分解し、pにおけるインertial作用に対応する成分を抽出する。
• コホモロジー類の分解における重要な係数bを、uβ/αおよびvβ/αのp進対数の比に結びつけることで、b = −logₚ(vβ/α)/logₚ(uβ/α) を示し、代数的および解析的表現の間の接続を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリーンバーグが予想したように、重さ1のモジュラー形式の随伴表現に対する解析的L-不変量と代数的L-不変量は等しいか？
• RQ2 グリーンバーグがS₁(23,η)における形式に対して行った特殊ケースの計算は、他の重さ1のモジュラー形式へと一般化可能か？
• RQ3 Zp拡大における普遍ノルムによって定義される代数的L-不変量は、グローバル単数およびp-単数のp進対数を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 コホモロジー的構成による代数的L-不変量とp進L関数の微分との間の明確な関係は何か？
• RQ5 2つのL-不変量の等価性は奇妙な形式に対しても成り立ち、そのために必要な条件は何か？

主な発見

• 仮定(A1–A3)のもとで、および奇妙な形式では追加条件α ≠ −βのもとで、代数的L-不変量LGr(ad₀(gα)) は乗法的群L×を法として解析的L-不変量Lan(ad₀(gα)) と合同である。
• 代数的L-不変量は明示的に LGr(ad₀(gα)) ≡ logₚ(v₁) − logₚ(vβ/α) / logₚ(uβ/α) logₚ(u₁) (mod Q×) と計算され、uおよびvはGQ-不変な準同型として単数群へと写す。
• コホモロジー類の分解における係数bが −logₚ(vβ/α)/logₚ(uβ/α) に等しいことが示され、代数的表現と解析的表現との間の接続が可能になる。
• 証明により、普遍ノルムxのp進対数が、bとlogₚ(θχε₁)を含む式で決定され、[RR, Theorem A’]の解析的公式と一致することが示された。
• 結果として、グリーンバーグの予想が、以前は謎とされたΓ₀(23)上の重さ1形式（p=23）を含む広範な設定で確認された。
• 主な技術的ブリッジは、群環における∆-不変性とイデムポテンスを用いて、H¹(Q, V)内のコホモロジー類を、単数およびp-単数のp進対数の組み合わせに特定することにある。