[論文レビュー] On the $\mathcal{R}$-boundedness of solution operator families for two-phase Stokes resolvent equations

Sri Maryani, Hirokazu Saito|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一様な $W_r^{2-1/r}$ 域上の混合ノルム $L_p$-$L_q$ 空間における2相ストークス回復方程式の解作用素族の $Σ$-有界性を確立し、最大 $L_p$-$L_q$ 正則性と解析的半群の生成を証明する。主な結果は、弱い楕円型送り問題の仮定の下で $Σ$-有界な解作用素の構成であり、自由境界および界面境界を有する時間に依存する2相ストークス問題に対して最大正則性を可能にする。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show the existence of $\mathcal{R}$-bounded solution operator families for two-phase Stokes resolvent equations in $\dotΩ=Ω_+\cupΩ_-$, where $Ω_\pm$ are uniform $W_r^{2-1/r}$ domains of $N$-dimensional Euclidean space $\mathbf{R}^N$ ($N\geq 2$, $N

研究の動機と目的

• 一般の領域上での混合ノルムレベーグ空間における2相ストークス回復方程式の解作用素族の $Σ$-有界性を確立すること。
• 自由境界および界面境界を有する時間に依存する2相ストークス問題に対する最大 $L_p$-$L_q$ 正則性を証明すること。
• $Σ$-有界な解作用素を用いて解析的半群の生成を示すこと。
• 正則性理論を $\mathbb{R}^N$, $\mathbb{R}_{\pm}^N$, 変形された半空間、層、有界領域を含む領域へ拡張すること。
• $\mathbf{f} \in L_q(\Omega)^N$ の下で弱い楕円型送り問題の仮定の下でアプローチを検証すること。

提案手法

• 界面 $\Gamma$ 上での層電位および特異積分を用いた調和成分と特異積分成分への分解により、解作用素を構成する。
• $\dot{\Omega} = \Omega_+ \cup \Omega_-$ 上で、$\Gamma$ を境にジャンプ条件を満たす回復問題を解くために、パラメトリックス型のアプローチを採用する。
• 解作用素のパrameter $\lambda \in \Sigma_{\varepsilon,\lambda_0}$ の制御のため、$\mathcal{R}$-有界性フレームワークを用い、一様な作用素の有界性を保証する。
• 変分問題の解の存在と一意性を保証するため、弱い楕円型送り問題の理論を用い、$\theta \in \mathcal{W}_q^1(\Omega)$ の下で適用する。
• $\mathcal{R}$-有界性を満たす $\lambda \frac{d}{d\lambda}$-微分を有する、$\Sigma_{\varepsilon,\lambda_1}$ 上の正則作用素族 $\mathbf{U}(\lambda)$ を確立する。
• 固定点法と摂動推定を用いて、作用素 $I - F_{\mathcal{R},\lambda}\mathbf{U}(\lambda)$ の有界な逆作用素の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の領域上での混合ノルム $L_p$-$L_q$ 空間における2相ストークス回復方程式に対して、$\mathcal{R}$-有界な解作用素族を構成できるか？
• RQ2 $\mathcal{R}$-有界性が時間に依存する2相ストークス問題の最大 $L_p$-$L_q$ 正則性を示唆するか？
• RQ3 どのような領域および係数の仮定の下で、弱い楕円型送り問題が $\mathcal{W}_q^1(\Omega)$ 内で一意解を持つのか？
• RQ4 $\mathcal{R}$-有界な解作用素を用いて2相ストークス系の解析的半群の生成を確立できるか？
• RQ5 界面 $\Gamma$ および $\Gamma_+$ と $\Gamma_-$ における境界条件が $\mathcal{R}$-有界性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 弱い楕円型送り問題の一意解可能性の仮定の下で、$\Sigma_{\varepsilon,\lambda_0}$ 内で2相ストークス回復方程式の $\mathcal{R}$-有界な解作用素族の存在を証明する。
• $\mathcal{R}$-有界性に基づき、時間に依存する2相ストークス問題に対する最大 $L_p$-$L_q$ 正則性を確立する。
• 解作用素 $\mathbf{U}(\lambda)$ は $\Sigma_{\varepsilon,\lambda_1}$ 上で正則であり、定数 $\sigma_1, \sigma_2, \lambda_1$, および $\gamma_4$ に依存する $\mathcal{R}$-有界性推定を満たす。
• 逆作用素 $ (I - F_{\mathcal{R},\lambda}\mathbf{U}(\lambda))^{-1} $ は $\mathcal{R}$-有界であり、ノルムが2以下であるため、解作用素族の安定性が保証される。
• 構成法は、$\mathbb{R}^N$, $\mathbb{R}_{\pm}^N$, 変形された半空間、層、有界領域を含む領域に適用可能であり、$W_r^{2-1/r}$ 正則性条件を満たす。
• 結果は $N \geq 2$, $r < \infty$, $1 < q < \infty$ に対して有効であり、$\rho_\pm > 0$ かつ $\mu_\pm = \mu_\pm(x)$ は可測関数である。