[論文レビュー] On the Matrix Representation of Quantum Operations

Yoshihiro Nambu, Kazuo Nakamura|ArXiv.org|Apr 12, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Liouville超作用素とChoi作用素の双対作用素基底を介する同型性から、$χ$-行列と$؃$-行列の間の明示的かつ計算可能な行列乗算公式を用いて、量子操作の2つの主要な行列表現の間を体系的に変換するフレームワークを確立する。この変換により、クイド系における物理的および情報理論的応用の統一的解析が可能になる。

ABSTRACT

This paper considers two frequently used matrix representations -- what we call the $χ$- and $\mathcal{S}$-matrices -- of a quantum operation and their applications. The matrices defined with respect to an arbitrary operator basis, that is, the orthonormal basis for the space of linear operators on the state space are considered for a general operation acting on a single or two extit{d}-level quantum system (qudit). We show that the two matrices are given by the expansion coefficients of the Liouville superoperator as well as the associated bijective, positive operator on the doubled-space defined with respect to two types of induced operator basis having different tensor product structures, i.e., Kronecker products of the relevant operator basis and dyadic products of the associated bipartite state basis. The explicit conversion formulas between the two matrices are established as a computable matrix multiplication. Extention to more qudits case is trivial. Several applications of these matrices and the conversion formulas in quantum information science and technology are presented.

研究の動機と目的

• 量子操作の2つの広く使われる行列表現、$χ$-行列と$؃$-行列の関係を統一的かつ明確にすること。
• ヒルベルト＝シュミット空間における正規直交作用素基底を用いて、$χ$-行列と$؃$-行列の間の明示的かつ計算可能な変換公式を提供すること。
• 多クイド系に形式を拡張し、合成量子操作および回路の解析を可能にすること。
• 両表現が物理的特徴付け（例：$χ$-行列の分離可能性によるもつれ性質）および論理的回路設計（$؃$-行列の合成による）において、それぞれ異なるが補完的な応用をどのように支援するかを示すこと。

提案手法

• 物理的動作に対して完全正値性を保証する正規直交作用素基底におけるLiouville超作用素の展開係数として$χ$-行列を定義する。
• Liouville空間における同じ超作用素の行列表現を、二重ケット表記とヒルベルト＝シュミット内積を用いて$؃$-行列として定義する。
• 作用素基底のクロネッカー積構造と、拡張されたヒルベルト空間における関連する二重スピン状態基底のデイアディック積構造との間の全単射を確立し、変換を可能にする。
• Choi同型性を用いて、$χ$-行列と$؃$-行列の間の明示的変換公式（式40および式41）を、行列乗算として導出する。
• 合成操作の$؃$-行列を、拡張された$؃$-行列の積として計算できるように、恒等行列とのテンソル積を用いて多クイド系に形式を拡張する。
• Choi作用素を二つの表現の間のブリッジとして用い、$χ$-行列がChoi状態の分離可能性特性に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子操作の$χ$-行列と$؃$-行列表現を、計算可能な変換によって体系的に関連付ける方法は何か？
• RQ2 双対基底構成の観点から、Liouville超作用素とChoi作用素の間の同型性の背後にある数学的構造は何か？
• RQ3 $χ$-行列と$؃$-行列の間の変換を多クイド系に一般化する方法は何か？
• RQ4 $χ$-行列と$؃$-行列が、量子過程特徴付けと量子回路設計において、どのように異なるが補完的な応用を支援するか？
• RQ5 この形式は、測定やノイズのあるチャネルを含む非ユニタリ操作を、統一的な行列枠組みで解析するために使用可能か？

主な発見

• Choi同型性と双対基底構造から導かれた明示的かつ計算可能な行列乗算公式により、$χ$-行列と$؃$-行列は関係づけられる。
• $χ$-行列と$؃$-行列の間の変換は、拡張されたヒルベルト空間における作用素基底のクロネッカー積と状態基底のデイアディック積との間の全単射によって実現される。
• $χ$-行列は、量子操作のもつれ性質の分析に特に有用であり、操作の分離可能性が$χ$-行列の分離可能性に対応する。
• $؃$-行列を用いることで、量子回路の合成が効率的に行える。連鎖する操作の$؃$-行列は、個々の操作の拡張された$؃$-行列の積として得られる。
• 多クイド操作の拡張$؃$-行列は、作用しない量子系の部分に恒等行列とのテンソル積をとることで計算される。
• この形式により、二重ヒルベルト空間におけるエルミート作用素基底の期待値を測定することで、実験的量子操作特徴付けが可能になる。この際、等方性状態を入力として用いる。