[論文レビュー] On the Max-Cut Over Sparse Random Graph

David Gamarnik, Quan Li|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、大偏差解析における新しい局所最適性制約を導入することで、スパースな Erdős–Rényi ランダムグラフにおける最大カットの既知の境界を改善した。漸近的にタイトな境界を確立した：高確率で、正規化された最大カットサイズは [c/2 + 0.47523√c, c/2 + 0.55909√c] の間にある。これは反強磁性イジング模型に影響を与え、立方体グラフに対するより良い境界をもたらす。

ABSTRACT

We consider the problem of estimating the size of a maximum cut in a random \ER graph on $n$ nodes and $\lfloor cn floor$ edges. It is known~\cite{Coppersmith2004} that the size of the maximum cut in this graph normalized by the number of nodes belongs to the asymptotic region $[c/2+0.37613\sqrt{c},c/2+0.58870\sqrt{c}]$ with high probability (w.h.p.) as $n$ increases, for all sufficiently large $c$. In this paper we improve both upper and lower bounds by introducing a novel bounding technique. Specifically, we establish that the size of the maximum cut normalized by the number of nodes belongs to the interval $[c/2+0.47523\sqrt{c},c/2+0.55909\sqrt{c}]$ w.h.p. as $n$ increases, for all sufficiently large $c$. Instead of considering the expected number of cuts achieving a particular value as is done in the first moment method, we observe that every maximum size cut satisfies a certain local optimality property, and we compute the expected number of cuts with a given value satisfying this local optimality property. Estimating this expectation amounts to solving a rather involved two dimensional large deviations problem. We solve this underlying large deviation problem asymptotically as $c$ increases and use it to obtain an improved upper bound on the Max-Cut value. The lower bound is obtained by the second moment method, coupled with the same local optimality constraint, and is shown to work up to the stated lower bound. Our results have immediate implications to a very related model -- anti-ferromagnetic Ising model. As a corollary we obtain that the ground state energy normalized by $2\sqrt{c}n$ for this model on the same random graph belongs to $[-0.55909,-0.47523]$ for all sufficiently large $c$ w.h.p. Finally, we also obtain an improved lower bound $1.36000n$ of Max-Cut for random cubic graph or cubic graph with a large girth, improving the previous best bound $1.33774n$.

研究の動機と目的

• スパースな Erdős–Rényi ランダムグラフにおける最大カットサイズの既知の漸近的境界を精緻化すること。
• 最大カットの局所最適性特性を組み込んだ新しい境界付け技法を開発すること。
• 大偏差解析を用いて、正規化された最大カット値の上界と下界を両方とも改善すること。
• 同じランダムグラフ集合上での反強磁性イジング模型への結果の拡張。
• 正則または大きな周囲長のグラフ（例：立方体グラフ）における最大カットの改善された下界を導出すること。

提案手法

• 最大カットが満たすべき局所最適性条件を導入し、期待値のカウントに基づく標準的な一次モーメント法とは入れ替える。
• すべてのカットではなく、この局所最適性条件を満たすサイズが与えられたカットの期待数を計算する。
• c が増加するに従い、2次元の大偏差問題を漸近的に定式化・解明する。
• この解を用いて、新しい制約を課した一次モーメント法により、最大カット値のよりタイトな上界を導出する。
• 同じ局所最適性条件を用いた第二モーメント法を適用し、より強い下界を確立する。
• 得られた結果を活用して、同じグラフ集合上での反強磁性イジング模型の基底状態エネルギーの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ かつ c が大きいとき、スパースな Erdős–Rényi ランダムグラフにおける正規化された最大カットサイズの改善された漸近的境界は何か？
• RQ2 最大カットの局所最適性特性は、ランダムグラフ設定における大偏差解析を精緻化するためにどのように活用できるか？
• RQ3 これらのタイトな最大カット境界は、同じグラフ上での反強磁性イジング模型の基底状態エネルギーにどのような影響を与えるか？
• RQ4 新しい手法は、立方体グラフなどの正則または大きな周囲長のグラフにおける最大カットの改善された下界を導けるか？
• RQ5 この文脈において、新しい境界付け技法は、古典的な一次および二次モーメント法に比べてどの程度優れているか？

主な発見

• n が大きくなり、十分に大きな c に対して、c n 条の Erdős–Rényi ランダムグラフにおける正規化された最大カットサイズは、高確率で [c/2 + 0.47523√c, c/2 + 0.55909√c] の区間内にある。
• 上界 c/2 + 0.55909√c は、局所最適性制約の下での2次元の大偏差問題の解法により得られた。
• 下界 c/2 + 0.47523√c は、同じ局所最適性条件を用いた第二モーメント法により確立された。
• 同じランダムグラフ上での反強磁性イジング模型において、2√c n で正規化された基底状態エネルギーは、高確率で [-0.55909, -0.47523] の範囲にある。
• ランダムな立方体グラフまたは大きな周囲長の立方体グラフにおける最大カットに対して、1.36000n という改善された下界が得られ、以前の 1.33774n を上回った。
• 提案手法は、カット空間内の構造的制約を活用することで、Coppersmith ら (2004) などの先行研究に比べて既知の境界を著しくタイトにした。