[論文レビュー] On the maximal number of elements pairwise generating the symmetric group of even degree

Francesco Fumagalli, Martino Garonzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2020

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、偶数次対称群 $S_n$ に対して、互いに生成する集合の最大サイズ $\omega(S_n)$ と、真の部分群による被覆の最小サイズ $\sigma(S_n)$ が、$n \to \infty$ のとき両者とも $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$ に漸近的に等しいことを確立している。著者らはロヴァーズ・ローカル・レームを用いてこのような集合を構成し、$\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$ を証明することで、$S_n$ に対して偶数 $n$ の場合に長年の群生成理論における漸近的同値性が解決された。結果は組合せ的群論と確率的技法を用いて導出されており、EberhardとVirchowの研究により、分類に依存しない $\omega(S_n) \geq (1 - o(1))n$ の下界も得られている。

ABSTRACT

Let $G$ be the symmetric group of degree $n$. Let $\\omega(G)$ be the maximal size of a subset $S$ of $G$ such that $\\langle x,y \ angle = G$ whenever $x,y \\in S$ and $x \ eq y$ and let $\\sigma(G)$ be the minimal size of a family of proper subgroups of $G$ whose union is $G$. We prove that both functions $\\sigma(G)$ and $\\omega(G)$ are asymptotically equal to $\\frac{1}{2} \\binom{n}{n/2}$ when $n$ is even. This, together with a result of S. Blackburn, implies that $\\sigma(G)/\\omega(G)$ tends to $1$ as $n \ o \\infty$. Moreover, we give a lower bound of $(1-o(1))n$ on $\\omega(G)$ which is independent of the classification of finite simple groups. We also calculate, for large enough $n$, the clique number of the graph defined as follows: the vertices are the elements of $G$ and two vertices $x,y$ are connected by an edge if $\\langle x,y \ angle \\geq A_n$.

研究の動機と目的

• 偶数 $n$ の対称群 $S_n$ における、互いに生成する集合の最大サイズ $\omega(S_n)$ の漸近的挙動を特定すること。
• 偶数 $n$ に対して、被覆数 $\sigma(S_n)$ と $\omega(S_n)$ の間の漸近的同値性を確立し、$\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$ となることを示すこと。
• 有限単純群の分類に依存しない $\omega(S_n)$ の下界を確立すること。
• $S_n$ の元を頂点とするグラフのクリーク数を、$\langle x,y \rangle \geq A_n$ を満たす辺によって定義し、結果を $\langle x,y \rangle \geq A_n$ に拡張すること。

提案手法

• 2つのブロックを持つ非可約最大部分群に属する $n$-サイクルの族を、Lov\'asz Local Lemma を用いた確率的構成により構成する。
• $S_n$ 上に定義された2つのグラフ $Q^{(1)}$ と $Q^{(2)}$ を定義し、それぞれ $S_n$ を生成するペア、$\geq A_n$ を生成するペアに対応する辺を持つ。これらのクリーク数を評価する。
• ロヴァーズ・ローカル・レームを用いて、各最大部分群からランダムに $n$-サイクルを選んだとき、正の確率で互いに生成する集合が得られることを示す。
• 2つのランダムに選ばれた元が、構成された族とは異なる最大部分群に属する確率を、共轭類の数と部分群の交差の上限を用いて評価する。
• EberhardとVirchowの分類に依存しないランダム生成確率に関する結果を応用し、$\omega(S_n)$ と $\omega(A_n)$ の下界を得る。
• Praeger-Saxlの境界と巡回型の制約を用いて、$S_n$ の最大部分群の性質を制御し、ローカル・レームの適用における誤差確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数 $n$ に対して、$S_n$ における互いに生成する集合の最大サイズ $\omega(S_n)$ の漸近的成長はいかほどか？
• RQ2 偶数 $n$ に対して、$\sigma(S_n)$ と $\omega(S_n)$ の間の漸近的関係は何か？ また、$\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$ となるか？
• RQ3 有限単純群の分類に依存しない $\omega(S_n)$ の下界を確立できるか？
• RQ4 $n$ が十分に大きく偶数であるとき、$\langle x,y \rangle \geq A_n$ を満たすペアを辺とする $S_n$ 上のグラフのクリーク数は何か？
• RQ5 特に非可約かつ非推移的な最大部分群の構造が、大きな互いに生成する集合の構成にどのように影響するか？

主な発見

• 偶数 $n$ に対して、$\omega(S_n)$ と $\sigma(S_n)$ は両者とも $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$ に漸近的に等しく、$n \to \infty$ のとき $\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$ である。
• すべての異なる $x,y \in X$ に対して $\langle x,y \rangle \geq A_n$ を満たす $S_n$ の部分集合 $X$ の最大サイズは、$n/2$ が偶数のとき $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2} + 2^{n-2}$、$n/2$ が奇数のとき $2^{n-2}$ であり、$n$ が十分に大きい偶数のとき成り立つ。
• EberhardとVirchowの結果を用いて、有限単純群の分類に依存しない $\omega(S_n) \geq (1 - o(1))n$ の下界が確立された。
• ロヴァーズ・ローカル・レームを用いて、$\sim \frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$ のサイズを持つ互いに生成する集合を構成し、部分群の共轭と交差の上限により誤差確率を制御した。
• 証明は、最大部分群を非可約型、非推移的型、単純型に分類し、2つのランダム生成元が同じような部分群に属する確率を制限することで成り立っている。
• $n$ が十分に大きく偶数のとき、$\langle x,y \rangle \geq A_n$ を満たす辺を持つ $S_n$ 上のグラフのクリーク数は、$n/2$ が偶数のとき $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2} + 2^{n-2}$、$n/2$ が奇数のとき $2^{n-2}$ に正確に等しいことが示された。