[論文レビュー] On the Maximal Number of Real Mutually Unbiased Bases

Paweł Wocjan|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、R^dにおける実相互 unbiased 基底（MUB）の最大数を調査し、実MUBの対が存在するのはd = 2または4の倍数の場合に限られ、三つ組は平方数の次元でのみ存在可能であることを証明している。d = 2^{2m}の場合、実MUBの最大数は(d+2)/2であると示され、d = s^2でsが2の累乗でない偶数の場合、s次正方行列が存在する限り、N_MOLS(s)+2の下界が成り立つ。これは、2つの実MUBの存在がハダマード予想に依存することを示している。

ABSTRACT

In this note I point out that (1) pairs of real mutually unbiased bases (i.e., orthonormal bases of R^d) can only exist in dimensions 2 or d where d is a multiple of 4 and that (2) triples of real mutually unbiased bases can only exist for dimensions d that are also squares. For the case d=2^{2m} the maximal number of real MUBs is given by (d+2)/2 (this follows from known results on extremal euclidean line-sets). In the case d=s^2 where s is an even number that is not a power of 2, we have the lower bound N_MOLS(s)+2, where N_MOLS(s) denotes the maximal number of mutually orthogonal Latin square of order s, provided that there exists a Hadamard matrix of size s. It is not known how good this bound is. Moreover, I observe that the question of deciding if there always two real MUBs is equivalent to the Hadamard conjecture.

研究の動機と目的

• R^dにおける実相互 unbiased 基底（MUB）の最大数を特定すること。
• 実MUBの対および三つ組の存在に必要な次元dの条件を同定すること。
• 特にsが2の累乗でない偶数である場合のd = s^2の次元における実MUBの数の下界を確立すること。
• 2つの実MUBの存在が長年のハダマード予想と等価であることを示すこと。

提案手法

• R^dにおける正規直交基底を分析し、実相互 unbiased 基底の存在に関する制約を導出すること。
• 極値ユークリッド直線集合に関する既知の結果を適用し、d = 2^{2m}の場合の実MUBの最大数を特定すること。
• 相互に直交するラテン二乗（MOLS）の理論を用いて、sが偶数だが2の累乗でないd = s^2の場合の下界を導出すること。
• s次ハダマード行列の存在を活用し、このような次元における下界N_MOLS(s)+2が成立することを検証すること。
• 2つの実MUBの存在とハダマード予想との間の同値性を確立すること。
• 組合せ論的および代数的技法を用いて、実MUB構成の構造的制約を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次元dにおいて実MUBの対が存在可能か？
• RQ2 実MUBの三つ組が存在するためのdに必要な条件は何か？
• RQ3 d = 2^{2m}の場合、実MUBの最大数は何か？
• RQ4 d = s^2（sが偶数）の平方次元において、最大数の相互に直交するラテン二乗と実MUBの下界との関係は何か？
• RQ5 任意の次元dにおいて2つの実MUBが存在することは、ハダマード予想と同値か？

主な発見

• 実相互 unbiased 基底の対は、d = 2またはd ≡ 0 (mod 4) の場合にのみ存在可能である。
• 実MUBの三つ組は、dが完全平方数である場合にのみ存在可能である。
• d = 2^{2m}の場合、実MUBの最大数は(d+2)/2であり、極値ユークリッド直線集合理論から導出されたものである。
• d = s^2でsが偶数かつ2の累乗でない場合、s次ハダマード行列が存在する限り、実MUBの数の下界としてN_MOLS(s)+2が成り立つ。
• 任意の次元dにおいて2つの実MUBが存在することは、ハダマード予想と同値である。
• d = s^2の場合の下界N_MOLS(s)+2がタイトであるかどうかは不明であり、その最適性は未解決の問題のままである。