[論文レビュー] On the maximum likelihood estimator for the Generalized Extreme-Value distribution

Axel Bücher, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、極値統計学の基本的モデルである3パラメータ一般化極値（GEV）分布に対する最尤推定量（MLE）の漸近的正規性について、形式的証明を提供する。広く用いられているにもかかわらず、パラメータに依存するサポートのため、GEV MLEの漸近的正規性は、以前まで厳密に確立されていなかった。著者らは、サポートに依存するパラメータを有する非正則モデルにおけるM推定量の一般枠組みを構築し、それらをGEV族に適用する。これには、経験過程理論とスコア関数のリプシッツ条件が用いられ、長年の結果が厳密な数学的裏付けをもって確立された。

ABSTRACT

The vanilla method in univariate extreme-value theory consists of fitting the three-parameter Generalized Extreme-Value (GEV) distribution to a sample of block maxima. Despite claims to the contrary, the asymptotic normality of the maximum likelihood estimator has never been established. In this paper, a formal proof is given using a general result on the maximum likelihood estimator for parametric families that are differentiable in quadratic mean but whose support depends on the parameter. An interesting side result concerns the (lack of) differentiability in quadratic mean of the GEV family.

研究の動機と目的

• 3パラメータ一般化極値（GEV）分布に対する最尤推定量（MLE）の漸近的正規性を、厳密に確立すること。これは、単変量極値理論で広く用いられているモデルである。
• GEV MLEの漸近的正規性が、パラメータに依存するサポートのため、長年にわたり文献に欠落していたが、そのギャップを埋めること。
• パラメータに依存するサポートを有するパラメトリックモデルにおけるM推定量の一般理論的枠組みを構築すること。これは、古典的な正則性条件を越えるものである。
• GEV族に対して必要な技術的条件——特にスコア関数の一様制御とエントロピー条件——を、経験過程の道具立てと、巧みに構築されたリプシッツ境界を用いて検証すること。
• 特にGumbelケース（γ=0）における2乗平均での微分可能性の非可微分性という問題を解決し、このような非正則モデルにおける数学的課題を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、2乗平均で微分可能であるが、パラメータに依存するサポートを有するパラメトリック族に対するM推定量の漸近的正規性に関する一般的結果を構築する。これには、経験過程における発散を避けるために再パラメトリゼーションされた基準関数 mθ = 2 log((pθ + pθ₀)/(2pθ₀)) が用いられる。
• van der Vaart (1998) の経験過程理論を応用し、特にスコア関数 ℓθ(x) = log pθ(x) のリプシッツ条件による関数クラスのエントロピーの制御を行う。
• 証明は、真のパラメータ θ₀ の近傍におけるパラメータ部分集合上でコンパクト性と連続性の議論を用いて、スコアベクトル ∇ℓθ(x) の一様収束性を確立することに依存する。
• GEV族に対しては、真のパラメータ θ₀ に基づいて標本空間を分割し、各領域でスコアベクトルのノルム ∥˙ℓθ(x)∥ の点ごとの上界を導出し、Pθ₀ の下で可積分性を保証する。
• GEV密度から導かれるスコア成分の明示的上限を用い、関数 uγ(z) = (1 + γz)⁻¹/γ 及びその異なるパラメータ領域（γ > 0, γ = 0, γ < 0）における挙動の性質を活用する。
• 形状パrameter γ の符号に応じてケースを区別し、γ₀ ∈ (−1/2, 0)、γ₀ = 0、γ₀ > 0 の各場合に別個に取り扱い、特化された不等式と漸近近似を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3パラメータGEV分布の最尤推定量は、サポートがパラメータに依存するにもかかわらず、漸近的に正規的であるか？
• RQ2 パラメータに依存するサポートを有する非正則パラメトリックモデルにおけるM推定量の漸近的正規性を確立する一般枠組みを構築できるか？
• RQ3 特に2乗平均での微分可能性とサポート境界付近でのスコア関数の挙動に起因する、GEV MLEの漸近的正規性の証明における技術的課題は何か？
• RQ4 サポートがパラメータに依存する場合に、スコア過程における無限大の軌道を扱うために、経験過程理論をどのように適合させられるか？
• RQ5 GEVモデルにおけるパラメータ空間にインデックスづけられた経験過程の収束を保証するため、具体的に確認すべきリプシッツ条件およびエントロピー条件は何か？

主な発見

• 本稿は、極値理論における長年の未解決問題であった、3パラメータGEV分布に対する最尤推定量の漸近的正規性を確立した。
• 著者らは、すべてのθがθ₀の近傍にある場合に、Pθ₀の下でスコアベクトル ∇ℓθ(x) が平方可積分であることを証明した。これはMLEの漸近的正規性に不可欠である。
• Gumbelケース（γ = 0）では、GEV族が2乗平均で微分可能であることが示され、Marohn (1994, 2000) の結果を確認した。一方、3パラメータ全般では、サポート依存性のため2乗平均で微分可能でない。
• 証明は、標本空間を3つの互いに素な領域に分割し、各領域でスコアベクトルのノルム ∥˙ℓθ(x)∥ の一様な上限を構築することに依存する。各ケースで可積分性が、特化された不等式を用いて確認された。
• MLEの収束速度が √n であり、漸近分散がフィッシャー情報行列の逆行列で与えられることを示した。これは、導出された正則性条件の下で成り立つ。
• 古典的なCramérおよびvan der Vaart (1998) の正則性条件が、GEVモデルでは失敗することが示された。これは、パラメータに依存するサポートのためであり、新たな理論的枠組みの必要性を示唆している。