[論文レビュー] On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums

Hong Liu, Maryam Sharifzadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、{1, ..., n} の部分集合の r 色分けの最大数を調査しており、各色クラスがシュール三つ組（x + y = z の解）を含まないようなものである。r = 2 の場合、f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉} を証明し、極値集合は奇数集合またはサイズ ⌈n/2⌉ の区間である。r ≤ 5 の場合、線形計画法を用いて log f(n,r) の漸近的評価を行い、極値集合が奇数集合や区間の和集合に近いことを示した。

ABSTRACT

Let $f(n,r)$ denote the maximum number of colourings of $A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n brace$ with $r$ colours such that each colour class is sum-free. Here, a sum is a subset $\lbrace x,y,z brace$ such that $x+y=z$. We show that $f(n,2) = 2^{\lceil n/2 ceil}$, and describe the extremal subsets. Further, using linear optimisation, we asymptotically determine the logarithm of $f(n,r)$ for $r \leq 5$. Similar results were obtained by Hàn and Jiménez in the setting of finite abelian groups.

研究の動機と目的

• f(n,r) を決定する。これは、各色クラスが和自由（シュール三つ組を含まない）であるような、任意の A ⊆ {1,…,n} の r 色分けの最大数である。
• グラフ理論における Erdős-Rothschild 問題を、クリークをシュール三つ組に置き換えた和自由設定へと拡張する。
• f(n,r) を達成する極値集合を特徴付け、小さい r におけるその構造を理解する。
• 線形最適化技術を用いて、r ≤ 5 に対して log f(n,r) の漸近的評価を求める。
• 極値集合の安定性を検討し、r = 4,5 に対して構造的近似を仮説立てる。

提案手法

• f(n,r) を、各色クラスが和自由であるような任意の A ⊆ {1,…,n} の r 色分けの最大数として定義する。
• 極値的組合せ論と安定性手法を用いて、最大色分けを達成する集合の構造を分析する。
• r = 2 の場合、極値集合が奇数集合またはサイズ ⌈n/2⌉ の区間であることを証明し、f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉} を得る。
• r ≤ 5 の場合、密度と和自由性に関する制約をモデル化するため線形計画法を適用し、log f(n,r) の漸近的境界を導出する。
• Pikhurko らの手法にインspされ、和自由構成の有限最適化問題に問題を還元するレイヤリングアプローチを用いる。
• 安定性結果を確立するため、極値集合が対称差に関して奇数集合や区間の和集合に近いことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 {1,…,n} の部分集合に対して、単色シュール三つ組を含まない 2 色分けの最大数は何か？
• RQ2 r ∈ {3,4,5} の場合、log f(n,r) の漸近的成長は何か？また、極値集合にどのような構造的性質があるか？
• RQ3 f(n,r) を達成する極値集合は、奇数集合や区間の和集合に近いか？
• RQ4 r ≤ 5 に対して、和自由集合からの自明な下界はタイトか？それとも極値グラフには多くのシュール三つ組が含まれるか？
• RQ5 線形計画法を用いて、r = 6 のようなより大きな r に対しても正確または漸近的な結果を得られるか？

主な発見

• r = 2 の場合、f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉} であり、極値集合は奇数集合またはサイズ ⌈n/2⌉ の任意の区間である。
• f(n,2) を達成する極値集合は、最大サイズの和自由集合、すなわち奇数集合またはサイズ ⌈n/2⌉ の区間である。
• r ≤ 5 の場合、log f(n,r) は線形計画法を用いて漸近的に決定され、log f(n,r) = h(r) · n + o(n) の形で表される、ある h(r) が存在する。
• r = 4 および r = 5 の極値集合は、構造的に奇数集合や奇数集合と特定の区間の和集合に近い。
• 安定性結果から、r = 4 の任意の極値集合は、奇数集合、I₂、またはそれらの和集合と対称差に関して o(n) の距離にあると示唆される。
• r ≥ 6 の場合、複数の種類の和自由構成を考慮する必要があるため、手法は著しく複雑化し、問題は未解決のまま残っている。