[論文レビュー] On the Maximum of Dependent Gaussian Random Variables: A Sharp Bound for the Lower Tail

Miles E. Lopes|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対応する相関係数が $\rho_0 < 1$ で有界な有限個の中心化・標準化されたガウス確率変数の最大値の下側尾部確率について、非漸近的な上界を提供する。この上界は定数要因を除いて鋭く、$\rho_0$、$\epsilon_0$、$n$ に明示的に依存しており、一般の依存構造下での最大値の有限標本における下側尾部の正確な特徴づけを可能にする。

ABSTRACT

Although there is an extensive literature on the maxima of Gaussian processes, there are relatively few non-asymptotic bounds on their lower-tail probabilities. In the context of a finite index set, this paper offers such a bound, while also allowing for many types of dependence. Specifically, let $(X_1,\dots,X_n)$ be a centered Gaussian vector, with standardized entries, whose correlation matrix $R$ satisfies $\max_{i eq j} R_{ij}\leq ho_0$ for some constant $ ho_0\in (0,1)$. Then, for any $\epsilon_0\in (0,\sqrt{1- ho_0})$, we establish an upper bound on the probability $\mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i\leq \epsilon_0\sqrt{2\log(n)})$ that is a function of $ ho_0, \, \epsilon_0,$ and $n$. Furthermore, we show the bound is sharp, in the sense that it is attained up to a constant, for each $ ho_0$ and $\epsilon_0$.

研究の動機と目的

• 有限のインデックス集合を持つガウス過程の最大値の下側尾部確率に関する非漸近的上界の欠如に取り組むこと。
• 一般の依存構造下で $\mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ のタイトな上界を導出すること。
• $\rho_0 \in (0,1)$ および $\epsilon_0 \in (0, \sqrt{1 - \rho_0})$ のすべての値に対して、定数因子を除いて鋭い上界を確立すること。
• すべてのペアワイズ相関係数が $\rho_0$ で一様に有界である限り、任意の依存パターンを許容するように既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 相関行列 $R$ を満たす $n$ 個の中心化ガウス確率変数の最大値をモデル化し、$\max_{i \neq j} R_{ij} \leq \rho_0$ を満たす。
• ペアワイズ相関係数が有界なガウスベクトルに特化した集中・比較技術を適用する。
• チェインジング型の議論またはガウス比較不等式を用いて最大値の下側尾部を制御する。
• $\mathbb{P}(\max_i X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ の明示的な上界を、$\rho_0$、$\epsilon_0$、$n$ に依存する形で導出する。
• 特定の例の族を構築することで、上界が定数因子を除いて達成されることを示して鋭さを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従属ガウスベクトルに対して、下側尾部確率 $\mathbb{P}(\max_i X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ の最良の非漸近的上界は何か？
• RQ2 $\max_{i \neq j} R_{ij} \leq \rho_0$ で定量化される依存構造は、最大値の下側尾部にどのように影響するか？
• RQ3 すべての $n$ に対して一様に成り立つ上界を、$\rho_0$ の有界性を超えて特定の相関構造に依存しない形で導出可能か？
• RQ4 導出された上界は、$\rho_0$ および $\epsilon_0$ のある構成に対して、定数因子を除いて達成可能であるという意味でタイトか？

主な発見

• $\mathbb{P}(\max_{1\leq i\leq n} X_i \leq \epsilon_0\sqrt{2\log n})$ の上界が、$\rho_0$、$\epsilon_0$、$n$ に明示的に依存する形で導出された。
• この上界は非漸近的であり、有限 $n$ に対して有効であり、統計的推論や有限標本解析に適している。
• 上界は、指定された範囲内の各固定された $\rho_0$ および $\epsilon_0$ に対して、定数因子を除いて達成可能であるという意味で鋭い。
• 最小限の仮定 $\max_{i \neq j} R_{ij} \leq \rho_0 < 1$ の下で成立し、広範な依存構造のクラスをカバーする。