[論文レビュー] On the maximum orders of elements of finite almost simple groups and primitive permutation groups

Simon D. Guest, Joy Morris+2 more|ePrints Soton (University of Southampton)|Jan 22, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限のほとんど単純群および原始置換群における最大元の位数（meo）の鋭い上界を確立し、非交わる群に対しては、有限個の例外を除き meo(G) ≤ m(T) が成り立ち、12個の例外的単純群を除き meo(G) ≤ m(T)/4 が成り立つことを示している。さらに、位数が n/4 以上の元を含むすべての原始置換群 G（次数 n）を分類し、その核構造と置換表現に基づく明示的な上界を群論的解析によって特定している。

ABSTRACT

We determine upper bounds for the maximum order of an element of a finite almost simple group with socle T in terms of the minimum index m(T) of a maximal subgroup of T: for T not an alternating group we prove that, with finitely many exceptions, the maximum element order is at most m(T). Moreover, apart from an explicit list of groups, the bound can be reduced to m(T)/4. These results are applied to determine all primitive permutation groups on a set of size n that contain permutations of order greater than or equal to n/4.

研究の動機と目的

• 単純群 T の忠実な置換表現の最小次数 m(T) を用いて、非交わる核を持つ有限のほとんど単純群 G における最大元の位数 meo(G) の上界を決定すること。
• 最大元の位数 meo(G) が m(T) の定数倍（特に m(T)/4）で抑えられる条件を調査し、例外的な場合を同定すること。
• 位数が n/4 以上の元を含むすべての原始置換群 G（次数 n）を分類し、その核構造と置換作用を特定すること。
• 対称群や交代群に限らない他の有限単純群、およびその自己同型群への結果の拡張、特に古典的群への応用。
• PSL_d(q) および PSU_4(q) 群族に特に注目し、m(T) を用いて meo(Aut(T)) の明示的な上界と例外を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、特に古典的群を含む有限単純群 T に対して、既知の meo(Aut(T)) の上界を、巡回構造と体のサイズに基づいて用いる。
• meo(Aut(T)) と T の忠実な置換表現の最小次数 m(T) を比較し、漸近的推定と明示的計算を用いる。
• PSU_d(q) 群に対して、大規模な q に対して meo(Aut(T)) < m(T)^{3/4} となる漸近的不等式を導出する。
• 特に直積作用型の原始置換群の構造を解析するための群論的技法を適用し、特に wreath 群と核作用を扱う。
• 計算による検証と場合分けを用いて、核が T^ℓ である PA 型の G に対して meo(G) ≥ n/4 を満たす最大の ℓ_T を特定する。
• meo(G) ≥ n/4 を満たす原始群 G の可能な核型を分類し、Alt(m)^ℓ や PSL_d(q)^ℓ が部分空間や点のタプルへの自然な作用をもつことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非交わる核 T を持つ有限のほとんど単純群 G に対して、meo(G) の m(T) を用いた最良の上界は何か？
• RQ2 どの有限非アーベル単純群 T に対して meo(Aut(T)) > m(T)/4 が成り立ち、そのような例外はいくつ存在するか？
• RQ3 次数 n のどの原始置換群 G が n/4 以上の位数の元を含み、その核構造は何か？
• RQ4 すべての非交わる、かつ PSL_d(q) でない群に対して、meo(G) ≤ m(T) の上界を meo(G) ≤ m(T)/4 に改善できるか？
• RQ5 n = m^ℓ であるとき、wreath 群 T ≀ Sym(ℓ) が n/4 以上の位数の元を含むような最大の ℓ は何か？

主な発見

• すべての非交わる有限単純群 T に対して、有限個の例外を除き、Aut(T) における最大元の位数は m(T) 以下であり、PSL_d(q) の (d,q) 組に対しては、2組を除き等号が成り立つ。
• 12個の例外的単純群 T を除き、meo(Aut(T)) < m(T)/4 が成り立ち、その例外は表1にリストアップされている。
• T = PSU_4(q) の場合、meo(Aut(T)) = q^3 + 1 は、任意の ε > 0 に対して、大規模な q に対して m(T)^{3/4 - ε} よりも速く増加するため、上界が ε まで鋭いことを示している。
• meo(G) ≥ n/4 を満たすすべての原始置換群 G（次数 n）の核は、Alt(m)^ℓ、PSL_d(q)^ℓ、または初等アーベル群に同型であり、部分空間や点のタプルへの特定の作用をもつ。
• G = T ≀ Sym(ℓ) に対して meo(G) ≥ n/4 を満たす最大の ℓ_T は、各 T に対して有限であり、Alt(7) では ℓ_T = 4、Alt(5) では ℓ_T = 3、HS やその他の散乱群では ℓ_T = 1 である。
• 表6に、22個の単純群（Alt(m)、M11、M12、M22、M23、M24、およびさまざまな PSL_d(q)、PSU_d(q)、PSp 群）に対して、n = m^ℓ かつ meo(G) ≥ n/4 を満たす ℓ_T と対応する m の明示的な値が一覧されている。