[論文レビュー] On the maximum principle for parabolic equations with unbounded coefficients

Alexander I. Nazarov|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非有界係数を許容するパラボリック方程式に対して、鋭い最大原理推定値を確立する。先行研究を拡張し、$ L_p^xL_q^t $ 型のローレンツ・ルベーグ空間における係数を扱うもので、$ \frac{n}{p} + \frac{1}{q} \leq 1 $ を満たす。新規の核心的補題を導入し、各 $ b_i^{(k)} $ がそのような空間に属する『合成』係数 $ b_i = \sum b_i^{(k)} $ の場合の推定値を示す。重み付きノルムとボーニ型最大原理を用いて、最適な可積分性条件を達成する。

ABSTRACT

Translation of the paper "Interpolation of linear spaces and maximum estimates for solutions to parabolic equations" published in Russian in the collected volume "Partial differential equations", Akad. Nauk SSSR, Sibirsk. Otdel., Inst. Mat., Novosibirsk, 1987, 50--72. Original proofs are essentially simplified. Some gaps are fixed and some comments are added.

研究の動機と目的

• パラボリック方程式の最大原理推定値を、非有界係数、特に $ L_p^xL_q^t $ 型のローレンツ・ルベーグ空間で $ \frac{n}{p} + \frac{1}{q} \leq 1 $ を満たす場合に拡張すること。
• 係数 $ b_i $ が $ L_p^xL_q^t $ に属するか、または $ b_i = \sum b_i^{(k)} $ の形で $ b_i^{(k)} \in L_{p_k}^xL_{q_k}^t $ となる『合成』形である場合に、既存の結果を一般化すること。
• これらの一般化された係数条件の下で、パラボリック作用素に対してボーニ型最大原理を証明すること。
• 高レベルの議論を避けて、先行研究におけるギャップを是正することで、以前の証明を統一的かつ簡素化すること。

提案手法

• 右辺 $ f $ に関する解の事前推定値を提供する核心的補題を導入し、$ \sigma $, $ \det(a) $, $ c $ を含む重み付きノルムを用いる。
• ミンコフスキーの不等式を適用し、混合ノルム空間 $ L_p^xL_q^t $ と $ L_q^tL_p^x $ の関係を確立し、$ p \leq q $ または $ p \geq q $ の下で埋め込みの連続性を保証する。
• モンジュ＝アンプère型方程式を満たす $ v $-関数による変換を用いて、$ \mathcal{L}B \geq |b| $ を満たす上界解 $ B $ を構成し、最大原理の適用を可能にする。
• 合成係数の場合、$ b_i $ を成分 $ b_i^{(k)} $ に分解し、それぞれに対し上界解 $ B_k $ を別々に構成し、$ \|DB_1\|_{C_{RT}} $ を含む正規化係数を用いて合計の成長を制御する。
• 下界解と上界解の方法を $ L_p $-ノルム推定値と組み合わせ、重み $ h_k = \sigma^{-1/q_k}(\det a)^{-1/p_k} c^{n/p_k + 1/q_k - 1} |b^{(k)}| $ を用いる。
• 背理法によるボーニ型最大原理の適用：内部最大点で $ \mathcal{L}u < 0 $ であると仮定すると、$ L_{p_k,q_k} $-ノルムにおける減衰推定値により矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック方程式の最大原理推定値は、$ \frac{n}{p} + \frac{1}{q} \leq 1 $ を満たす混合ノルムルベーグ空間 $ L_p^xL_q^t $ における非有界係数にまで拡張可能か？
• RQ2 下界係数 $ b_i $ が単一の $ L_p^xL_q^t $ 空間に属さない場合、すなわち異なる空間に属する成分の和 $ b_i = \sum b_i^{(k)} $ である場合、推定値はどのように一般化可能か？
• RQ3 最大原理による解の $ L^\infty $-有界性を保証するための $ b_i $ の最適な可積分性条件は何か？
• RQ4 ボーニ型最大原理は、ローレンツ型空間における非有界係数をもつパラボリック作用素へ拡張可能か？
• RQ5 有界性仮定に依存しない形で合成係数を扱うための証明戦略に必要な修正は何か？

主な発見

• 非退化仮定の下で、$ W^{2,1}_{n+1}(Q) \cap C(\overline{Q}) $ に属する解に対して、推定値 $ \|u\|_{L^\infty(Q)} \leq N \left\| \frac{(\mathcal{L}u)_+}{(\sigma \det a)^{1/(n+1)}} \right\|_{n+1,Q} $ が確立される。
• $ \frac{n}{p} + \frac{1}{q} \leq 1 $ を満たす $ b_i \in L_p^xL_q^t(Q) $ の場合、$ n $, $ R $, および $ b_i $ の空間内でのノルムに依存する定数を用いて最大原理推定値が成り立つ。
• 各 $ b_i^{(k)} \in L_{p_k}^xL_{q_k}^t(Q) $ かつ $ \frac{n}{p_k} + \frac{1}{q_k} \leq 1 $ を満たす『合成』係数 $ b_i = \sum_{k=1}^m b_i^{(k)} $ の場合に推定値が拡張され、定数は $ \|h_k\|_{p_k,q_k,Q} $ に依存する。ここで $ h_k = \sigma^{-1/q_k}(\det a)^{-1/p_k} c^{n/p_k + 1/q_k - 1} |b^{(k)}| $ である。
• ボーニ型最大原理が証明された：解 $ u \in W^{2,1}_{p_0,q_0,\text{loc}}(Q) $ が $ Q $ の内部で非負の最大値をとるとき、同じ可積分性仮定の下で $ \sup_Q \frac{\mathcal{L}u}{{\bf Sp}(a)+\sigma+c} \geq 0 $ が成り立つ。
• 証明技法は [BL] や [KP] の高レベルな道具に依存せず、[N87] や [N88] の以前の議論を簡素化し、補助的命題におけるギャップを是正する。
• 文献に示された反例および使用される重み関数の構造から、条件 $ \frac{n}{p} + \frac{1}{q} \leq 1 $ を緩和することは不可能であることが示され、結果は最適性を有する。