[論文レビュー] On the Mean Connected Induced Subgraph Order of Cographs

Matthew E. Kroeker, Lucas Mol+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2017

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、連結な誘導部分グラフの平均位数を最大化および最小化する極値のコグラフを特定する。$ n \geq 7 $ の連結コグラフについて、星 $ K_{1,n-1} $ が平均連結誘導部分グラフ位数を最大化し、$ n $-スケトル $ K_1 + (K_1 \cup K_{n-2}) $ がそれを最小化することを証明する。コグラフの密度（平均位数を $ n $ で割ったもの）は漸近的に $ 1/2 $ に近づき、任意の頂点における局所平均は常にグローバル平均以上である。

ABSTRACT

In this article the extremal structures for the mean order of connected induced subgraphs of cographs are determined. It is shown that among all connected cographs of order $n \ge 7$, the star $K_{1,n-1}$ has maximum mean connected induced subgraph order, and for $n \ge 3$, the $n$-skillet, $K_1+(K_1 \cup K_{n-2})$, has minimum mean connected induced subgraph order. It is deduced that the density for connected cographs (i.e. the ratio of the mean to the order of the graph) is asymptotically $1/2$. The mean order of all connected induced subgraphs containing a given vertex $v$ of a cograph $G$, called the local mean of $G$ at $v$, is shown to be at least as large as the mean order of all connected induced subgraphs of $G$, called the global mean of $G$.

研究の動機と目的

• 位数 $ n $ のコグラフのうち、連結誘導部分グラフの平均位数を極値化するものを特定すること。
• 最大および最小の平均連結誘導部分グラフ位数を実現する連結コグラフの構造を特徴づけること。
• コグラフにおける頂点ごとの局所平均（頂点における平均）とグローバル平均（全体の平均）の関係を分析すること。
• 連結コグラフの漸近的密度、すなわち平均部分グラフ位数とグラフ位数の比を確立すること。
• 任意の頂点における局所平均が常にグローバル平均以上であるかどうかを検証し、この性質がコグラフに限らず一般の連結グラフに対しても成り立つかを調査すること。

提案手法

• 著者たちは、$ a_k(G) $ を位数 $ k $ の連結誘導部分グラフの個数とする、連結誘導部分グラフ多項式 $ \Phi_G(x) = \sum_{k=1}^n a_k(G) x^k $ を用いる。
• グローバル平均 $ M_G $ は対数微分 $ \Phi_G'(1)/\Phi_G(1) $ として計算され、連結誘導部分グラフの平均位数を表す。
• 頂点 $ v $ における局所平均 $ M_{G,v} $ は、$ v $ を含む連結誘導部分グラフを数える局所部分グラフ多項式 $ \Phi_{G,v}(x) $ から導出される。
• コグラフの性質に基づく構造的分解が用いられる：コグラフは、直和 $ G_1 \cup G_2 $ および結合 $ G_1 + G_2 $ を用いて再帰的に構築され、帰納的議論が可能になる。
• 非負の係数を持つ多項式の和の対数微分が、部分グラフ間の平均値を比較する凸結合の道具として用いられる。
• 非自明な連結誘導部分グラフ（位数 2 以上）の平均位数である $ M^* $-平均が、位数 2 以上の部分グラフを分析するために用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \geq 7 $ の連結コグラフのうち、その連結誘導部分グラフの平均位数を最大にするものは何か？
• RQ2 $ n \geq 3 $ の連結コグラフのうち、その連結誘導部分グラフの平均位数を最小にするものは何か？
• RQ3 連結コグラフの各頂点における局所平均は、常にグローバル平均以上であるか？
• RQ4 連結コグラフについて、$ n \to \infty $ のときの密度 $ M_G / n $ の漸近的挙動は何か？
• RQ5 局所平均 ≥ グローバル平均という性質は、すべての連結グラフに成り立つか、それともコグラフや木といった特定のクラスに限られるのか？

主な発見

• $ n \geq 7 $ のとき、星 $ K_{1,n-1} $ はすべての位数 $ n $ の連結コグラフの中で、平均連結誘導部分グラフ位数を最大にする。
• $ n \geq 3 $ のとき、$ n $-スケトル $ K_1 + (K_1 \cup K_{n-2}) $ はすべての位数 $ n $ の連結コグラフの中で、平均連結誘導部分グラフ位数を最小にする。
• 任意の連結コグラフについて、密度 $ M_G / n $ は $ \frac{1}{2} < \frac{M_G}{n} \leq \frac{n+1}{2n} $ を満たし、$ n \to \infty $ のとき $ \frac{1}{2} $ に漸近的に近づく。
• すべての連結コグラフにおいて、各頂点における局所平均はグローバル平均以上であり、これはすべての連結グラフに成り立つわけではない。
• 任意の頂点 $ v $ について、局所平均は常にグローバル平均以上であり、$ n = 1 $ のときを除き、この不等式は厳密である。
• すべての連結グラフ（コグラフに限らない）の中で、平均連結誘導部分グラフ位数を最大にする極値グラフは、$ n \leq 9 $ のとき木でない。代わりに、$ \Theta_{i,j,k} $-グラフや $ P_3 \square P_3 $ のようなカルテシアン積のような 2-連結グラフである。