[論文レビュー] On the mean ergodicity of weak solutions of an abstract evolution equation

Marat V. Markin|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間 $ X $ 内の閉線形作用素 $ A $ に対して、抽象的初期値問題 $ y'(t) = Ay(t) $ の任意の有界な弱解 $ y(\cdot) $ に対して、Cesàro平均 $ \frac{1}{t}\int_0^t y(s)\,ds $ が $ t \to \infty $ のとき強い収束を示すための十分条件を確立する。主な結果は、$ A $ が純虚数のスペクトル値をもたないスカラー型スペクトル作用素であるならば、Cesàro平均が $ \ker A $ への射影に強く収束することを示しており、従来の正規作用素および自己共役作用素に対する結果を一般化する。

ABSTRACT

Found are conditions of rather general nature sufficient for the existence of the limit at infinity of the Cesàro means \begin{equation*} \frac{1}{t} \int_0^ty(s)\,ds \end{equation*} for every bounded weak solution $y(\cdot)$ of the abstract evolution equation \begin{equation*} y'(t)=Ay(t),\ t\ge 0, \end{equation*} with a closed linear operator $A$ in a Banach space $X$.

研究の動機と目的

• 有界な弱解のCesàro平均の強い極限の存在を保証する作用素論的条件を特定すること。
• 古典的解および正規作用素に対する既存の平均的エルゴード性の結果を、弱解およびより広範な設定（スカラー型スペクトル作用素を含む）に一般化すること。
• 反射的空間、有限次元空間およびヒルバート空間における既存の平均的エルゴード性の結果を、スペクトル論を用いて統一的かつ拡張すること。
• 作用素計算およびスペクトル測度を用いて、弱解の漸近的挙動を包括的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• スカラー型スペクトル作用素の作用素的計算を用い、スペクトル測度 $ E_A(\lambda) $ を通じて解を表現する。
• Hahn-Banach定理を適用して、双対性とスペクトル積分を用いてCesàro平均のノルムを評価する。
• 空間 $ X $ を $ \operatorname{Re} \lambda < 0 $、$ \operatorname{Re} \lambda = 0 $、$ \operatorname{Re} \lambda > 0 $ に対応するスペクトル部分空間に分解する。
• スペクトル射影を用いて $ \int_0^t e^{sA} f \, ds $ の漸近的挙動を分析し、スペクトル測度の全 Variation を用いて収束を推定する。
• スペクトル積分を $ \operatorname{Re} \lambda \leq -1/n $ および $ -1/n < \operatorname{Re} \lambda < 0 $ の領域に分割し、それぞれの部分を評価することで収束を確立する。
• Borel集合 $ S \subset \sigma(A) $ に対して $ \|E_A(S)\| \leq 4M $（$ M $ はスペクトル測度の有界性定数）が成り立つことを利用して、積分のノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素 $ A $ に対して、任意の有界な弱解 $ y(\cdot) $ に対して、Cesàro平均 $ \frac{1}{t}\int_0^t y(s)\,ds $ が $ t \to \infty $ のとき強い収束を示すための条件は何か？
• RQ2 特に、純虚数のスペクトル値が存在しないことによって、$ A $ のスペクトル構造が弱解の漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ3 複素バナッハ空間におけるスカラー型スペクトル作用素に対して、弱解の平均的エルゴード性を確立できるか？これは、正規作用素および自己共役作用素に対する既存の結果を一般化する。
• RQ4 $ X = \ker A \oplus \overline{R(A)} $ の分解と、強い微分可能性が成り立たない場合のCesàro平均の収束との関係は何か？

主な発見

• 複素バナッハ空間におけるスカラー型スペクトル作用素 $ A $ が純虚数のスペクトル値を持たないとき、Cesàro平均 $ \frac{1}{t}\int_0^t y(s)\,ds $ は $ E_A(\{0\})f $、すなわち $ \ker A $ へのスペクトル射影に強く収束する。
• 複素ヒルバート空間における正規作用素 $ A $ で $ \sigma(A) \cap i\mathbb{R} = \emptyset $ であるとき、Cesàro平均の強い極限は $ \ker A $ への直交射影に一致する。
• 複素ヒルバート空間における自己共役作用素 $ A $ に対して、$ y(t) $ 自身の強い極限が存在し、それは $ Py(0) $ に等しい。ここで $ P $ は $ \ker A $ への直交射影である。
• 作用素 $ A $ がスカラー型スペクトル作用素であり、$ 0 $ が正則点または有限上昇の孤立スペクトル点であるならば、Cesàro平均の収束が保証される。
• 証明は、$ \{ \lambda \in \sigma(A) \mid \operatorname{Re} \lambda < 0 \} $ 上でのスペクトル積分のノルムを、全 Variation の評価と指数的減衰を用いて推定し、$ t \to \infty $ のときその値が $ 0 $ に収束することを示す。
• 本結果は、従来の古典的解および反射的空間に対する結果を一般化・置き換えし、スペクトル論を用いて一般複素バナッハ空間における弱解へ適用可能となる。