[論文レビュー] On the mean square of the zeta-function and the divisor problem

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Mar 21, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$ E(t) $ が $ |\zeta(1/2 + it)| $ の平均平方の誤差であり、$ \Delta^* $ がディリクレ除数問題の誤差の洗練された版であると定義される $ E^*(t) = E(t) - 2\tau \Delta^*(t/2\pi) $ の平均平方に対する最初の漸近公式を確立する。主な結果は、$ \int_0^T (E^*(t))^2 dt = T^{4/3} P_3(\log T) + O_\varepsilon(T^{7/6+\varepsilon}) $ であり、これは $ E^*(t) $ が $ E(t) $ や $ \Delta^*(t) $ よりも平均平方で著しく小さいことを示しており、正しいオーダーの大きさを確認している。証明にはバーノイ型の和公式、三角関数の指数和の推定、および1次導関数テストと停留化近似を用いた振動積分の漸近解析が用いられる。

ABSTRACT

Let $Δ(x)$ denote the error term in the Dirichlet divisor problem, and $E(T)$ the error term in the asymptotic formula for the mean square of $|ζ(1/2+it)|$. If $E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/2π)$ with $Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - {1\over2}Δ(4x)$, then we obtain the asymptotic formula $$ \int_0^T (E^*(t))^2 { m d} t = T^{4/3}P_3(\log T) + O_ε(T^{7/6+ε}), $$ where $P_3$ is a polynomial of degree three in $\log T$ with positive leading coefficient. The exponent 7/6 in the error term is the limit of the method.

研究の動機と目的

• zeta関数の平均平方と除数問題の誤差の差異を測る誤差項 $ E^*(t) $ の平均平方の正確なオーダーの大きさを特定すること。
• $ E^*(t) $ が $ E(t) $ や $ \Delta^*(t) $ よりも平均平方で著しく小さいという予想を、鋭い漸近公式の確立によって解明すること。
• これまでに知られていた $ \int_0^T (E^*(t))^2 dt $ の $ O(T^{4/3}\log^3 T) $ の上界が、正しいオーダーの大きさであることを確認すること。
• 主項が $ \log T $ の立方多項式であり、正の先頭係数を持つ明示的な漸近的構造を示すこと。

提案手法

• $ E(t) $ のより良い類似物としての $ \Delta^*(x) $ の定義：$ -\Delta(x) + 2\Delta(2x) - \frac{1}{2}\Delta(4x) $ を用いる。
• アトキンソンの明示公式とバーノイ型の和公式を適用し、$ E^*(t) $ を $ d(n)^2 $ という算術関数の和として、振動的な三角関数項で重みづけられた形に表現する。
• 漸近解析を用いて $ \sin^2 $ 項のフーリエ・ベッセル級数展開を切り詰め、1次導関数テストによる誤差の制御を実施する。
• 振動積分における変数変換を行い、積分領域を $ z \sim (4y^2 T)^{1/3} $ に比例する長さの区間での平均化に適した形に変換する。
• 補題3（$ d^2(n)n^3 $ の和に関するもの）を用いて、$ T^{4/3} $ および $ \log T $ のべき乗における主要な漸近的項を抽出し、$ a_1, a_3, a_5 $ の形で係数を表現する。
• 誤差解析として、$ |\sin y| \leq \min(1, |y|) $ の評価を用い、有限の積分範囲を $ (0, \infty) $ に置き換える。誤差項は $ O_\varepsilon(T^{7/6+\varepsilon}) $ に制御される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 これまでに知られていた $ \int_0^T (E^*(t))^2 dt $ の $ O(T^{4/3}\log^3 T) $ の上界が鋭いか、それとも漸近公式に改善できるか？
• RQ2 平均平方 $ E^*(t) $ は $ \log T $ における多項式的構造を示すか？ もしそうなら、その次数と先頭係数は何か？
• RQ3 漸近公式における誤差項が $ O(T^{7/6+\varepsilon}) $ で下から抑えられているか。これは現在の手法の限界を示唆するか？
• RQ4 漸近公式は、$ E^*(t) $ が $ E(t) $ や $ \Delta^*(t) $ よりも平均平方で本質的に小さいという予想を確認するか？
• RQ5 正確な漸近的挙動 $ \int_0^T (E^*(t))^2 dt $ は何か？ また、これはzeta関数の平均平方と除数問題の間のより深い関係を明らかにするか？

主な発見

• 漸近公式 $ \int_0^T (E^*(t))^2 dt = T^{4/3} P_3(\log T) + O_\varepsilon(T^{7/6+\varepsilon}) $ が確立され、$ P_3 $ は正の先頭係数を持つ $ \log T $ の立方多項式である。
• 主項は $ T^{4/3} $ のオーダーであり、これまでの $ O(T^{4/3}\log^3 T) $ の上界が正しいオーダーの大きさであることを確認している。
• 誤差項 $ O_\varepsilon(T^{7/6+\varepsilon}) $ が現在の手法の限界であることが示され、$ O(T^{7/6}\log^C T) $ よりも良い評価を得るには、中間の補題におけるより強い推定が必要である。
• 平均平方の漸近的構造は算術関数 $ d^2(n)n^{-3/2} $ に明示的に関連しており、主項の係数は $ \sum d^2(n)n^{-3/2} = \zeta^4(3/2)/\zeta(2) $ の形で表される。
• この結果から、$ E(t) = 2\pi \Delta^*(t/2\pi) + \Omega(T^{1/6}\log^{3/2}T) $ が導かれる。これは $ E(t) $ と $ \Delta^*(t/2\pi) $ がオーダーの大きさで互いに近すぎないことを示している。
• 公式は、$ E^*(t) $ が $ E(t) $ や $ \Delta^*(t) $ よりも平均平方で著しく小さいという予想を確認しており、$ E^*(t) \ll_\varepsilon t^{1/4+\varepsilon} $ という予想を支持する。