[論文レビュー] On the mean stability of a class of switched linear systems

Masaki Ogura, Clyde F. Martin|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散時間確率的スイッチ付き線形システムにおけるpth平均安定性と同次型のp次ラプラウンフンクションの存在との同値性を、L^pノルムの連続スペクトル半径を用いて確立する。さらに、p→∞の極限において、pth平均安定性が関連する決定的スイッチ付きシステムの絶対漸近安定性に収束することを示し、不変性条件の下でマコイアンスイッチ付きシステムに対して計算可能な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

This paper investigates the mean stability of a class of discrete-time stochastic switched linear systems using the $L^p$-norm joint spectral radius of the probability distributions governing the switched systems. First we prove a converse Lyapunov theorem that shows the equivalence between the mean stability and the existence of a homogeneous Lyapunov function. Then we show that, when $p$ goes to $\infty$, the stability of the $p$th mean becomes equivalent to the absolute asymptotic stability of an associated deterministic switched system. Finally we study the mean stability of Markovian switched systems. Numerical examples are presented to illustrate the results.

研究の動機と目的

• pth平均安定性とp次同次型ラプラウンフンクションの存在との間の逆ラプラウン定理を確立すること。
• p→∞におけるpth平均安定性の極限的挙動を調査し、関連する決定的スイッチ付きシステムの絶対漸近安定性と関連付けること。
• 不変性仮定の下で安定性特徴付けをマコイアンスイッチ付きシステムに拡張すること。
• 線形計画法または固有値問題を用いた線形行列不等式を通じて、マトリクスの固有値半径を用いてpth平均安定性の計算可能な基準を提供すること。

提案手法

• p次平均安定性の解析に用いる主要な道具として、L^pノルムの連続スペクトル半径を導入する。
• 弱い不変性条件の下で、pth平均安定性がp次同次型ラプラウンフンクションの存在と同値であることを示す逆ラプラウン定理を証明する。
• 極限的同値性を導出する：p→∞のとき、pth平均安定性は関連する決定的スイッチ付きシステムの絶対漸近安定性に同値となる。
• 遷移確率とシステム行列を用いて、Kronecker積を用いて構築されたNd^p × Nd^pサイズの行列T_pを構成し、その固有値半径ρ(T_p)を計算することで、pth平均安定性を特徴付ける。
• 状態軌道上の線形作用素Lを定義し、そのスペクトル的性質と連続スペクトル半径を関連付けることで、マコイアンスイッチ付きシステムにフレームワークを適用する。
• Corollary V.3を用いて、ρ_p,A = ρ(T_p)^{1/p}を計算し、標準的な固有値ソルバーを用いた数値的検証が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的スイッチ付き線形システムのpth平均安定性は、p次同次型ラプラウンフンクションの存在と同値であるか？
• RQ2 p→∞の極限においてpth平均安定性はどのように振る舞い、決定的スイッチ付きシステムの安定性とどのように関連するか？
• RQ3 不変性仮定の下で、マコイアンスイッチ付きシステムのpth平均安定性はL^pノルムの連続スペクトル半径を用いて特徴付けられるか？
• RQ4 安定性条件を、構造化された行列T_pにおける計算可能な固有値半径条件に簡略化できるか？
• RQ5 提案されたフレームワークを用いて、マコイアンスイッチ付きシステムの安定化フィードバックゲインを体系的に設計できるか？

主な発見

• 一般の偶数pについて、pth平均安定性はp次同次型ラプラウンフンクションの存在と同値であり、特定の不変性条件の下では一般のpについても同値性が成立する。
• p→∞のとき、pth平均安定性は関連する決定的スイッチ付きシステムの絶対漸近安定性と同値となる。これは、既知の連続スペクトル半径の極限に関する結果を拡張する。
• マコイアンスイッチ付きシステムにおいて、pth平均安定性はρ_p,A < 1で特徴付けられ、これはρ(T_p) < 1と同値である。ここでT_pは、遷移確率とシステム行列から得られるKronecker構造の行列である。
• 固有値半径ρ_p,Aはρ(T_p)^{1/p}として計算可能であり、標準的な固有値ソルバーを用いた効率的な数値計算が可能になる。
• 数値結果により、フィードバックゲインf = [0.36, 0.50]を用いることで、3モードのマコイアンシステムの1階モーメント安定性が達成され、ρ_1,A+bf = 0.9554 < 1であることが示された。
• シミュレーション軌道は安定化を示している：元のシステム（破線）は発散するが、制御されたシステム（実線）は期待値に関して0に収束する。理論的結果が確認された。