[論文レビュー] On the meaning of mean shape

Stephan Huckemann|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Morphological variations and asymmetry参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Kendallの3次元形状空間を含む非多様体形状空間において、内在的およびZiezold平均の多様体安定性を、弱い分布的条件下で確立する。これにより、2標本の仮説検定が有効に可能になる。また、低濃度における反例によって、Procrustes（Procrustean）平均がこの安定性を欠くことが示され、内在的・残差的・外部的平均の間の1次関係が導かれる。高濃度下では、Ziezold平均が内在的平均とProcrustean平均の測地線的線分を1:3の割合で内分することが示される。

ABSTRACT

Various concepts of mean shape previously unrelated in the literature are brought into relation. In particular for non-manifolds such as Kendall's 3D shape space, this paper answers the question, for which means one may apply a two-sample test. The answer is positive if intrinsic or Ziezold means are used. The underlying general result of manifold stability of a mean on a shape space, the quotient due to an isometric action of a compact Lie group on a Riemannian manifold, blends the Slice Theorem from differential geometry with the statistics of shape. For 3D Procrustes means, however, a counterexample is given. To further elucidate on subtleties of means, for spheres and Kendall's shape spaces, a first order relationship between intrinsic, residual/Procrustean and extrinsic/Ziezold means is derived stating that for high concentration the latter approximately divides the (generalized) geodesic segment between the former two by the ratio $1:3$. This fact, consequences of coordinate choices for the power of tests and other details, e.g. that extrinsic Schoenberg means may increase dimension are discussed and illustrated by simulations and exemplary datasets.

研究の動機と目的

• 非多様体形状空間における2標本仮説検定に適した平均形状の特定に関する長年の曖昧さを解消すること。
• 特に3次元における、内在的・外部的（Ziezold）および残差的（Procrustean）平均の間の関係を明確にすること。
• 平均形状が多様体部分にとどまるための条件を確立し、中心極限定理および統計的推論の適用を保証すること。
• 低濃度下でProcrustean平均が多様体安定性を失い、標準的な2標本検定が無効になることを示すこと。
• 3種類の平均タイプ間の1次漸近的関係を導出し、高濃度下ではZiezold平均が内在的平均からProcrustean平均へ向かう測地線的線分の約1/4の位置に位置することを示すこと。

提案手法

• 微分幾何学のスライス定理を用いて、形状空間の分布から前形状多様体への可測な水平リフトを構成し、平均安定性の解析を可能にする。
• チューブ型近傍とスライスの概念を適用して最適な位置リフトを定義し、多様体安定性の証明に不可欠な役割を果たす。
• リーマン多様体の指数写像とその逆写像を用いて、接ベクトルを含む積分方程式の零点として内在的平均を表現する。
• 商形状空間（カットローカスを除く）の可測な水平リフトの概念を導入し、統計的一致性を保証する。
• 群作用gによる代替リフトを用いた背理法を適用し、条件1.2下で内在的およびZiezold平均が多様体部分に存在しなければならないことを証明する。
• 指数写像のテイラー展開を用いて、内在的・Procrustean・Ziezold平均の間の1次漸近的関係を導出し、高濃度下でZiezold平均が測地線的線分を1:3の割合に内分することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非多様体形状空間における平均形状に対して、2標本仮説検定を厳密に適用できる条件は何か？
• RQ2 なぜProcrustean平均は多様体安定性を失うのに対し、内在的およびZiezold平均はそれを達成できるのか？
• RQ3 高濃度下での形状空間における、内在的・Procrustean・外部的（Ziezold）平均の漸近的関係は何か？
• RQ4 座標の選択と次元数は、形状平均に関する統計的検定の力にどのように影響するか？
• RQ5 非円形の形状の内在的平均が、その特異性ゆえに形状空間内で円になり得るか？

主な発見

• 条件1.2下では、非多様体部分に高々可算個の点質量が存在する限り、内在的およびZiezold平均は多様体安定性を有し、確率1で多様体部分に位置する。
• 一般にProcrustean平均は多様体安定性を有しない。低濃度下で平均が非多様体部分に位置する反例が提示され、標準的な2標本検定が無効になる。
• 高濃度下では、Ziezold平均が内在的平均とProcrustean平均の間の測地線的線分を1:3の割合に内分することが、指数写像の1次テイラー展開により導かれる。
• 円の形状は、閉じた平面上の形状空間における非円形曲線の内在的平均にはなり得ない。これはその特異的・非多様体的性質に起因する。
• 外部Schoenberg平均は、埋め込み幾何の結果として、形状空間の有効次元を増加させる可能性があり、統計的推論に影響を及ぼすことがある。
• 本稿は、形状空間から前形状空間への可測な水平リフトの厳密な枠組みを提供し、中心極限定理および統計的推論を非多様体形状空間へ拡張可能にする。