[論文レビュー] On the Medianwidth of Graphs

Konstantinos S. Stavropoulos|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、木の代わりに中間グラフ（median graph）を基本構造として用いる、木分解の一般化である中央値分解を導入する。$i$-中央値幅 $\operatorname{mw}_i(G)$ を定義し、$i=1$ で木幅に一致し、$i$ が増加するにつれてクリーク数 $\omega(G)$ に収束する幅パラメータの階層を構成する。また、色数 $\chi(G)$ に一致する変種を提示し、有界木幅を超えるグラフクラスのための新しい構造的枠組みを提供する。

ABSTRACT

A median graph is a connected graph, such that for any three vertices $u,v,w$ there is exactly one vertex $x$ that lies simultaneously on a shortest $(u,v)$-path, a shortest $(v,w)$-path and a shortest $(w,u)$-path. Examples of median graphs are trees and hypercubes. We introduce and study a generalisation of tree decompositions, to be called median decompositions, where instead of decomposing a graph $G$ in a treelike fashion, we use general median graphs as the underlying graph of the decomposition. We show that the corresponding width parameter $ ext{mw}(G)$, the medianwidth of $G$, is equal to the clique number of the graph, while a suitable variation of it is equal to the chromatic number of $G$. We study in detail the $i$-medianwidth $ ext{mw}_i(G)$ of a graph, for which we restrict the underlying median graph of a decomposition to be isometrically embeddable to the Cartesian product of $i$ trees. For $i\geq 1$, the parameters $ ext{mw}_i$ constitute a hierarchy starting from treewidth and converging to the clique number. We characterize the $i$-medianwidth of a graph to be, roughly said, the largest "intersection" of the best choice of $i$ many tree decompositions of the graph. Lastly, we extend the concept of tree and median decompositions and propose a general framework of how to decompose a graph $G$ in any fixed graphlike fashion.

研究の動機と目的

• 木分解の基本構造を木から中間グラフに置き換えることによる木分解の一般化。
• 中央値幅 $\operatorname{mw}(G)$ を定義・研究し、それがクリーク数 $\omega(G)$ に等しいことを示す。
• $i$-中央値幅 $\operatorname{mw}_i(G)$ を導入し、これは $i$ 個の木の直積に等長埋め込み可能な中間グラフを基本構造とする分解に制限する。
• 中央値幅 $\operatorname{mw}_i(G)$ が木幅からクリーク数に至る非増加的階層をなすことを確立する。
• 中央値幅とグラフ彩色の関係を検討し、色数 $\chi(G)$ に一致する変種を提示する。

提案手法

• 中間グラフの凸部分グラフをバッグとして用いる中央値分解を定義し、木分解の概念を一般化する。
• 中間グラフにおけるヘリの性質と凸性を用い、バッグ間の整合的な交差行動を保証する。
• 中間グラフの構造的性質を用いて、$\operatorname{mw}(G)$ がクリーク数 $\omega(G)$ に等しいことを特徴付ける。
• $i$-中央値幅を、基本となる中間グラフが $i$ 個の木のカルテジアン積に等長埋め込み可能であるように制限することで導入する。
• 色数 $\chi(G)$ との関係を確立するために、弱い-$\Theta$-滑らか中央値分解を定義する。
• 滑らかな中央値幅（$\operatorname{mw}_i$ の変種）が $\chi(G)$ に等しいことを証明し、木幅とブレームズの双対性に類似した双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木の代わりに中間グラフを基本構造として用いることで、木分解をどのように一般化できるか？
• RQ2 中央値幅 $\operatorname{mw}(G)$ とクリーク数 $\omega(G)$ のような古典的グラフパラメータとの関係は何か？
• RQ3 $i$-中央値幅 $\operatorname{mw}_i(G)$ は、木幅からクリーク数に収束する適切な階層をなすか？
• RQ4 中央値分解の変種として、色数 $\chi(G)$ を捉えることができるか。その場合、どのように実現されるか？
• RQ5 $i$-中央値幅が、$i$-中央値幅が有界なグラフにおけるNP困難問題にどのようなアルゴリズム的インパクトを与えるか？

主な発見

• グラフ $G$ の中央値幅 $\operatorname{mw}(G)$ は、正確にそのクリーク数 $\omega(G)$ に等しい。
• $i$-中央値幅 $\operatorname{mw}_i(G)$ は非増加的階層をなす：$\operatorname{tw}(G)+1 = \operatorname{mw}_1(G) \geq \operatorname{mw}_2(G) \geq \cdots \geq \operatorname{mw}(G) = \omega(G)$。
• $i \geq 1$ に対して、$\operatorname{mw}_i(G)$ は、$G$ の $i$ 個の木分解の最良の選択における最大の「交差」であると解釈できる。
• 弱い-$\Theta$-滑らかと呼ばれる中央値分解の変種により、色数 $\chi(G)$ に等しい幅パラメータが得られる。
• $i$-中央値幅階層は適切である：各レベルは、完全 $i$-部グラフが任意に大きな $\operatorname{mw}_i(G)$ を達成できることから、有界でない。
• ただし、$i \geq 2$ の場合、グラフの $i$-中央値幅が固定パrameter可 tractable に計算可能かどうかは未解決のままである。これは、クリーク数の問題が W[1]-完全であるにもかかわらず。