[論文レビュー] On the metric dimension of imprimitive distance-regular graphs

R. A. Bailey|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非原始的距離正則グラフの測地的次元とその半分または折りたたみグラフとの関係を確立し、テイラー図や零極性をもつ対称設計の結合図など、無限族に対して境界を提供する。ババイの原始的グラフに対する境界を非原始的ケースに拡張し、対称設計の結合図に対してはO(√N log N)、特定のハダマールに基づく設計に対してはO(log N)の測地的次元上界を得た。

ABSTRACT

A resolving set for a graph $Γ$ is a collection of vertices $S$, chosen so that for each vertex $v$, the list of distances from $v$ to the members of $S$ uniquely specifies $v$. The metric dimension of $Γ$ is the smallest size of a resolving set for $Γ$. Much attention has been paid to the metric dimension of distance-regular graphs. Work of Babai from the early 1980s yields general bounds on the metric dimension of primitive distance-regular graphs in terms of their parameters. We show how the metric dimension of an imprimitive distance-regular graph can be related to that of its halved and folded graphs, but also consider infinite families (including Taylor graphs and the incidence graphs of certain symmetric designs) where more precise results are possible.

研究の動機と目的

• 既知の測地的次元の原始的距離正則グラフへの境界を、非原始的距離正則グラフへと拡張すること。
• 非原始的グラフの測地的次元が、その半分または折りたたみグラフのそれとどのように関係するかを分析すること。
• テイラー図や零極性をもつ対称設計の結合図を含む特定の無限族に対して、正確な上界を導出すること。
• 零極性を必要としない対称設計の結合図に対しても、測地的次元の境界が成り立つかどうかを調査すること。
• 対称的および二部グラフの距離正則グラフにおける測地的次元と設計理論との関係を探索すること。

提案手法

• 定理2.1および2.2を用いて、非原始的グラフΓの測地的次元をその半分または折りたたみグラフのそれと関係づける。
• 原始的距離正則グラフの測地的次元に関するババイの一般的境界（定理1.2）を、導出された原始的グラフに適用する。
• 解消集合の概念を用いる：すべての頂点がRへの距離ベクトルによって一意に特定されるような集合R。
• 零極性をもつ対称(v,k,λ)-設計の結合図の構造を活用し、それらを強正則グラフと関連付ける。
• 折りたたみと半分の操作を用いて非原始的グラフを原始的グラフに還元し、既存の境界の適用を可能にする。
• 補題4.6を適用して、vおよびkの関数として測地的次元の上界を導出し、N = 2vとしてNの関数への変換を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非原始的距離正則グラフの測地的次元は、その半分または折りたたみグラフのそれとどのように関係するか？
• RQ2 半分と折りたたみを用いて、ババイの原始的距離正則グラフに対する境界を非原始的グラフへと拡張できるか？
• RQ3 零極性をもつ対称設計の結合図の測地的次元の境界は何か？
• RQ4 補題4.6における測地的次元の境界は、零極性をもたない対称設計の結合図に対しても成り立つか？
• RQ5 直径3または4の対称的または二部距離正則グラフの測地的次元は何か、特にその折りたたみまたは半分のグラフが完全グラフである場合に注目する。

主な発見

• 零極性をもつ非自明な(v,k,λ)対称設計の結合図Γに対して、測地的次元はμ(Γ) < 4√v log vを満たす。
• より鋭い境界が得られる：μ(Γ) < 8v/k log vであり、特にハダマールに基づく設計のようにvとkが線形関係にある場合にはO(log N)に改善される。
• (15,8,4)および(16,6,2)-双平面設計の結合図の測地的次元は、それぞれ1つの設計が零極性をもつかどうかに関わらず8である。
• 零極性をもつ対称設計の結合図に対しては、μ(Γ) = O(√N log N)の境界が成り立ち、ここでN = 2vは頂点数である。
• 結果は、測地的次元の境界が、零極性をもたないすべての対称設計の結合図に対しても拡張可能である可能性を示唆しているが、これは未解決の問題のままである。
• この手法は、結合図を強正則グラフと関連付けるために零極性の存在に依存しており、これによりババイの境界の適用が可能になる。