[論文レビュー] On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into Reproducing Kernel Hilbert Spaces.

Mathieu Carrière, Ulrich Bauer|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、カーネル法を用いて再現核ヒルバート空間（RKHS）への埋め込みにおける埋め込みの歪み（metric distortion）を調査する。有限次元RKHSでは、図の基数が有界であっても、双リプシッツ埋め込みは不可能であることを証明し、無限次元RKHSでは、任意の下界が図の基数に依存することを示す。

ABSTRACT

Persistence diagrams are important feature descriptors in Topological Data Analysis. Due to the nonlinearity of the space of persistence diagrams equipped with their {\em diagram distances}, most of the recent attempts at using persistence diagrams in Machine Learning have been done through kernel methods, i.e., embeddings of persistence diagrams into Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS), in which all computations can be performed easily. Since persistence diagrams enjoy theoretical stability guarantees for the diagram distances, the {\em metric properties} of a kernel $k$, i.e., the relationship between the RKHS distance $d_k$ and the diagram distances, are of central interest for understanding if the persistence diagram guarantees carry over to the embedding. In this article, we study the possibility of embedding persistence diagrams into RKHS with bi-Lipschitz maps. In particular, we show that when the RKHS is infinite dimensional, any lower bound must depend on the cardinalities of the persistence diagrams, and that when the RKHS is finite dimensional, finding a bi-Lipschitz embedding is impossible, even when restricting the persistence diagrams to have bounded cardinalities.

研究の動機と目的

• 図の距離（例えば、ワサースタイン距離やボトルネック距離）における持久図の理論的安定性保証が、カーネル法によるRKHSへの埋め込みにおいても保持されるかどうかを理解すること。
• 図の距離に関して、持久図の空間からRKHSへの双リプシッツ埋め込みの存在を調査すること。
• 無限次元RKHSにおける、距離歪みが図の基数にどのように依存するかを特定すること。
• 有限次元RKHSへの持久図の埋め込みにおける、距離構造を保存するという点での根本的制限を確立すること。

提案手法

• 分析は、図の距離（例：ワサースタイン距離やボトルネック距離）と、カーネル関数によって誘導されるRKHS距離の関係に焦点を当てる。
• この論文は、持久図の空間とRKHSとの間の双リプシッツ写像の存在を調べるために、幾何学的および関数解析的技法を用いる。
• 埋め込みの可能性を比較するために、有限次元と無限次元の両方のRKHS設定を検討する。
• 理論的下界としてのリプシッツ定数の下限を導出し、無限次元空間における図の基数に依存することを示す。
• 有限次元RKHSに対し、基数に有界性制約があっても、反例と不可能性の結果を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 図の基数に有界性を課えても、双リプシッツ写像を用いて持久図を有限次元RKHSに埋め込むことは可能か？
• RQ2 無限次元RKHSにおいて、RKHS距離の下界は、持久図の基数にどのように依存するか？
• RQ3 図の距離における持久図の安定性特性が、RKHSへの埋め込みにどの程度まで持ち越されるか？
• RQ4 次元にかかわらず、いかなるRKHSに対しても双リプシッツ埋め込みを達成することは可能か？

主な発見

• 有限次元RKHSへの持久図の双リプシッツ埋め込みは、図の基数に有界性を課えても不可能である。
• 無限次元RKHSでは、RKHS距離の任意の下界は、関係する持久図の基数に依存する必要がある。
• 無限次元RKHSにおける距離歪みは一様に有界にできず、本質的に図のサイズに敏感である。
• 双リプシッツ制御が求められる場合、図の距離における持久図の理論的安定性保証は、RKHSへの埋め込みに完全には伝わらない。