[論文レビュー] On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces

Mathieu Carrière, Ulrich Bauer|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、分離可能なヒルバート空間への埋め込みにおける埋め込みの歪み（metric distortion）を調査し、有限次元ヒルバート空間では双リプシッツ埋め込みが不可能であることを示し、無限次元空間における安定な埋め込みの下界が図の点数が増加するにつれて消えることを示している。これらの結果は、このような埋め込みにおいてメトリック構造が本質的に失われるため、トポロジカル機械学習における理論的保証が損なわれることを示している。

ABSTRACT

Persistence diagrams are important descriptors in Topological Data Analysis. Due to the nonlinearity of the space of persistence diagrams equipped with their {\em diagram distances}, most of the recent attempts at using persistence diagrams in machine learning have been done through kernel methods, i.e., embeddings of persistence diagrams into Reproducing Kernel Hilbert Spaces, in which all computations can be performed easily. Since persistence diagrams enjoy theoretical stability guarantees for the diagram distances, the {\em metric properties} of the feature map, i.e., the relationship between the Hilbert distance and the diagram distances, are of central interest for understanding if the persistence diagram guarantees carry over to the embedding. In this article, we study the possibility of embedding persistence diagrams into separable Hilbert spaces, with bi-Lipschitz maps. In particular, we show that for several stable embeddings into infinite-dimensional Hilbert spaces defined in the literature, any lower bound must depend on the cardinalities of the persistence diagrams, and that when the Hilbert space is finite dimensional, finding a bi-Lipschitz embedding is impossible, even when restricting the persistence diagrams to have bounded cardinalities.

研究の動機と目的

• パーシステント図のメトリック構造を保ちながら、分離可能なヒルバート空間への双リプシッツ写像による埋め込みが可能かどうかを調査すること。
• 図の距離（例：d₁, d_p）による安定性の保証が、そのヒルバート空間への埋め込みに引き継がれるかどうかを特定すること。
• 埋め込み歪みの下界がパーシステント図の基数に依存する様子を分析すること。
• 図のサイズが増加する際の一般的な特徴マップにおけるメトリック歪みの経験的挙動を評価すること。

提案手法

• 図の距離（例：d₁, d_p）とヒルバート空間の距離を用いた双リプシッツ埋め込みの理論的分析。
• 有限次元空間における不可能性を示す背理法による証明：被覆論法と三角不等式の応用。
• 下界の挙動をテストするため、距離を制御したパーシステント図の族の構築。
• スライスド・ワーサーテイン距離を、条件付き負定値カーネルを有する暗黙の特徴マップとしての使用。
• 合成図（点数10から1000まで）を用いたメトリック歪み比の経験的評価。
• 標準的な特徴マップの実装：パーシステントウェイトドガウス、パーシステントスケールスケープ、ランドスケープ、パーシステントイメージ、トポロジカルベクトル。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーシステント図は、有限次元ヒルバート空間への双リプシッツ写像によって埋め込み可能か？
• RQ2 無限次元ヒルバート空間への安定な特徴マップにおいて、図の基数に依存しないヒルバート距離の下界が存在するか？
• RQ3 パーシステント図の点数が増加するにつれて、メトリック歪みの下界はどのように変化するか？
• RQ4 スライスド・ワーサーテイン距離に対して導出された下界はタイトなものか、それとも図のサイズに依存するか？

主な発見

• 任意の次元の有限次元ヒルバート空間に対し、有界な基数を持つパーシステント図の空間と間の双リプシッツ埋め込みは存在しない。
• 無限次元ヒルバート空間へのいくつかの安定特徴マップにおいて、ヒルバート距離の任意の下界は、図の点数が増加するにつれて0に収束する必要がある。
• 経験的結果から、メトリック歪み比（ヒルバート距離／図の距離）は図の基数が増加するにつれて増加しており、特にトポロジカルベクトル、ランドスケープ、スライスド・ワーサーテインマップで顕著である。
• トポロジカルベクトル、ランドスケープ、スライスド・ワーサーテインマップでは、歪みが基数に対して線形に増加するが、他のマップでは成長が遅い。
• スライスド・ワーサーテイン距離は、図のサイズに依存しない普遍的な下界を有さないため、現在の下界はタイトではない可能性がある。
• これらの結果は、パーシステント図の理論的安定性保証が、ヒルバート空間における標準的な特徴マップ埋め込みでは保持されないことを示唆している。