[論文レビュー] On the Metric Independent Exotic Homology

S. P. Novikov|ArXiv.org|Mar 25, 2004

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の微分形式を用い、非閉1形式およびReebベクトル場によるde Rham作用素の摂動を介して、計量に依存しない特異ホモロジー理論を導入する。スペクトル系列の形式的枠組みを構築し、得られるホモロジー群がシンプレクティック幾何におけるハミルトニアン力学およびエネルギー準位多様体の位相と深く関係していることを示す。主な結果として、ホモロジーと回転数などの力学的不変量との間の関連が示される。

ABSTRACT

Different types of nonstandard homology groups based on the various subcomplexes of differential forms are considered as a continuation of the recent authors works. Some of them reflect interesting properties of dynamical systems on the compact manifolds. In order to study them a Special Perturbation Theory in the form of Spectral Sequences is developed. In some cases a convenient fermionic formalism of dealing with differential forms is used originated from the work of Witten in the Morse Theory (1982)and the authors work where some nonstandard analog of Morse Inequalities for vector fields was found (1986).

研究の動機と目的

• リーマン計量に依存しない、微分形式の部分複体に基づく新しい種類の特異ホモロジー理論の構築。
• 非閉1形式およびReebベクトル場によるde Rham作用素の摂動が及える位相的・力学的意味の解明。
• 非可積分分布を有する状況下で、特異ホモロジー群を計算するためのスペクトル系列形式の確立。
• 特異ホモロジーと幾何的および力学的不変量（例：回転数、ハミルトニアン系における不変サイクル）との関連の確立。
• 代数的摂動および超可換環を用いた、モース理論的および等長的ホモロジー構成の一般化。

提案手法

• 微分形式の部分複体 $ T_\Omega $ に対して $ \Omega \wedge a = 0 $ を満たすものとして定義され、作用素 $ d' = d + \lambda \omega^* $ に対する $ H^*_\text{exotic} = \ker(d') / \operatorname{im}(d') $ として特異ホモロジー群を構成。ここで $ \Omega = d\omega $ である。
• 作用素 $ d' = d + \mu \hat{X} $ の摂動された複体のホモロジーを計算するためにスペクトル系列を用いる。ここで $ \hat{X} $ はReebベクトル場 $ X $ による縮約作用素である。
• Wittenのモース理論にインspiredされたフェルミオン的形式を適用し、$ \hat{X} $ を閉形式上に作用する純粋に代数的演算子として扱う。
• スペクトル系列における高次微分 $ d_l $ を $ \hat{X} $ の反復作用により定義し、マッセイ積に類似した構造を再現。
• $ \nabla_X $ の核および像を介して、特異ホモロジー $ H^*_\Omega $ と標準的de Rhamコホモロジー $ H^*(M) $ を結ぶ自然な完全系列を確立。
• シンプレクティック多様体における奇数次元エネルギー準位多様体にこの構成を適用し、$ \Omega = \omega^n $ かつ $ X $ をReebベクトル場とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分形式の部分複体を用いて、リーマン計量に依存しない特異ホモロジーをどのように定義できるか？
• RQ2 条件 $ \Omega \wedge a = 0 $ を満たす $ d $-不変部分空間 $ T_\Omega $ によって定義される特異ホモロジー群 $ H^*_\Omega $ の位相的意味は何か？
• RQ3 摂動 $ d' = d + \mu \hat{X} $ から生じるスペクトル系列が特異ホモロジーをどのように計算するか。高次微分 $ d_l $ の役割は何か？
• RQ4 スペクトル系列の第二微分 $ d_2 = \hat{X} $ に、回転数などの力学的不変量がどのように符号化されているか？
• RQ5 これらの特異ホモロジー理論が、等長的ホモロジーおよびマッセイ積構造をどの程度一般化するか？

主な発見

• コンパクトな $ (2n+1) $ 次元多様体 $ M $ 上で $ \Omega = \omega^n $ により定義される特異ホモロジー $ H^*_\Omega $ は、Reebフローの不変サイクルのコホモロジーと同型である。
• 自然な完全系列により $ H^*_\Omega $ と標準的de Rhamコホモロジー $ H^*(M) $ が結ばれ、その項には $ \ker(\nabla_X) $、$ C^\infty(M)/\nabla_X(C^\infty(M)) $、および $ (u,X) $ の像が含まれる。
• 第二微分 $ d_2 = \hat{X} : H^1_{\text{inv}} \to \mathbb{R} $ が消えるための必要十分条件は、回転数 $ a \in H_1(M,\mathbb{R}) $ がゼロであることである。
• 摂動作用素 $ d' = d + \mu \hat{X} $ に対するスペクトル系列 $ E_l $ は $ E_2 = \sum_{i \geq 0} H^i_{\text{inv}} $ であり、$ d_2(u) = \hat{X}(u) $ であり、高次微分 $ d_l $ は反復縮約作用により代数的に定義される。
• コンパクト等長群に対しては $ E_\infty \cong H_*(d + \mu \hat{X}) $ が成り立ち、計量に依存しない設定下で摂動ホモロジーに収束することが示される。
• この構成は等長的ホモロジーを一般化する：群 $ G $-不変な $ R $-値微分形式上の作用素 $ d' = d + a_i \hat{X}_i $ は同じ枠組みに収まり、マッセイ積に類似したスペクトル系列を有する。