[論文レビュー] On the middle convolution of local systems. With an Appendix by M. Dettweiler and S. Reiter

Michael Dettweiler|ArXiv.org|Oct 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、エタールコhomologyにおけるlisse étale層および perverse sheaf に対する中間畳み込みのモチビック解釈を展開し、ℓ-独立性の結果を証明し、それを利用して特殊線型群をℚ(t) 上のガロア群として実現する。付録では、Kummer層および特徴層を用いた繰り返しの中間畳み込みとテンソル演算により、ℤ[ζ₃, 1/3] 上で、モノドロミーが例外型群G₂に強く稠密な新しいモチビック局所系を構成する。

ABSTRACT

We study the middle convolution of local systems and realize special linear groups as Galois groups over the rationals. In the Appendix to this paper, written jointly with Stefan Reiter, we prove the existence of a new motivic local system with $G_2$-monodromy.

研究の動機と目的

• エタールコhomology的設定における中間畳み込みのモチビック解釈を提供し、 Katz の理論を拡張して幾何的ガロア表現を構成すること。
• 中間畳み込みの行列式に関するℓ-独立性の結果を証明し、算術的応用を可能にすること。
• 畳み込み操作を用いて、特にG₂に強く稠密なモノドロミー群を有する新しいモチビック局所系を構成すること。
• 基本的層の間の畳み込みにより、特殊線型群をℚ(t) 上のガロア群として実現すること。
• G₂ という再帰的代数群に、モノドロミーがZariski稠密となるモチビック局所系の存在を、剛性およびコホモロジー的基準を用いて確立すること。

提案手法

• A¹ × A¹ 上の高次直接像とコンパクト台付きの標準的層演算を用いて、lisse étale層の間の畳み込みを定義する。
• 中間拡張 j_!*, を用いて、!-畳み込み写像から*-畳み込み写像への像として中間畳み込みを定義する。
• Künneth公式と中間畳み込みのモチビック解釈（定理 2.6.1）を用いて、ℤ[ζ₃, 1/3] 上のモチビック局所系を構成する。
• 単位根に関連するKummer層および特徴層に対して、繰り返しの中間畳み込みとテンソル演算を適用する。
• MAGMA計算を用いて、モノドロミー行列が ℚ̄_ℓ⁷ の3重外積空間において1次元部分空間を安定化することを確認し、G₂-モノドロミーを裏付ける。
• 物理的剛性の数値的基準（Katz, 定理 1.1.2）と双反射群分類（Springer, 1974）を用いて、Zariski閉包がG₂に一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ-進コホモロジーの文脈において、lisse étale層の間の畳み込みはモチビック解釈をもつのか？
• RQ2 中間畳み込みの行列式はℓ-独立性を満たすか？ その結果、ガロア表現にどのような意味を持つのか？
• RQ3 中間畳み込みを用いて、G₂ のような例外型代数群にモノドロミーが強く稠密なモチビック局所系を構成できるか？
• RQ4 基本的層の畳み込みにより、SL(n) をℚ(t) 上のガロア群として実現できるか？
• RQ5 中間畳み込み局所系のモノドロミーが、G₂ のような再帰的代数群においてZariski稠密となるための条件は何か？

主な発見

• 中間畳み込みのlisse étale層に対するモチビック解釈は、Künneth公式と定理 2.6.1 を用いて、ℤ[ζ₃, 1/3] 上で有効である。
• 中間畳み込みの行列式に関するℓ-独立性の結果が確立され、構成の算術的性質を裏付ける。
• X(ℂ) 上に、モノドロミー表現のZariski閉包がG₂(ℚ̄_ℓ) に一致する新しいモチビック局所系が構成された。
• 構成された局所系のモノドロミー族が、ℚ̄_ℓ⁷ の3重外積空間において1次元部分空間を安定化することを示し、G₂構造を確認した。
• Katzの基準に従い、物理的剛性ではないが、コホモロジー的に非剛性であることが判明し、非自明な変形空間を有することが示された。
• Kummer層および特徴層の繰り返し畳み込みを用いて、n ≥ 2 に対して SL(n) がℚ(t) 上のガロア群として実現された。