[論文レビュー] On the Milnor classes of local complete intersections

R. Callejas-Bedregal, M. F. Z. Morgado+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則セクションによって定義される局所的完全交差の全ミルナー類についての公式を確立し、射影双対バンドル内の超曲面のミルナー類で表す。トランスバーサリティとチャーン類の操作を用いて、パルシウスキ＝プラガツおよびアルーイ型の公式を完全交差設定に一般化し、特異代数幾何におけるグローバル・レ・サイクルとミルナー不変量の間の橋渡しを提供する。

ABSTRACT

In this work we study algebraic, geometric and topological properties of the Milnor classes of local complete intersections with arbitrary singularities. We describe first the Milnor class of the intersection of a finite number of hypersurfaces, under certain conditions of transversality, in terms of the Milnor classes of the hypersurfaces. Using this description we obtain a Parusiński-Pragacz type formula, an Aluffi type formula and a description of the Milnor class of the local complete intersection in terms of the global Lê cycles of the hypersurfaces that define it. We consider next the general case of a local complete intersection $Z(s)$ defined by a regular section $s$ of a rank $r$ holomorphic bundle $E$ over a compact manifold $M$, $r \geq 2$. We notice that $s$ determines a hypersurface $Z( ilde s)$ in the total space of the projectivization $\mathbb{P}(E^{\vee})$ of the dual bundle $E^{\vee}$, and we give a formula expressing the total Milnor class of the local complete intersection $Z(s)$ in terms of the Milnor classes of the hypersurface $Z( ilde s)$.

研究の動機と目的

• 超曲面から局所的完全交差へのミルナー類の公式の拡張（任意の特異性を許容）。
• 局所的完全交差のミルナー類と定義する超曲面のグローバル・レ・サイクルとの関係の確立。
• パルシウスキ＝プラガツおよびアルーイ型の公式を完全交差の場合に一般化すること。
• 局所的完全交差の全ミルナー類を、射影双対バンドル内の関連超曲面のミルナー類で表す普遍的公式の導出。

提案手法

• 局所的完全交差の交わりにおける特異性を制御するため、ホイットニーの分離構造とトランスバーサリティ条件を用いる。
• オームォトとヨクーラの積ミルナー類に関する研究を応用し、完全交差のミルナー類を、超曲面のミルナー類およびシュワーツ＝マクフィアソン類の組み合わせとして導出する。
• 射影双対バンドル上のタウトロジカルラインバンドルを活用し、セクションを上に持ち上げ、元の完全交差と関連するミルナー類を持つ超曲面を定義する。
• 射影公式および射影バンドルの接バンドルと相対接バンドルに関連するチャーン類の恒等式を用いて、元のセクションのミルナー類と持ち上げた超曲面のミルナー類を関連付ける。
• ベクトルバンドルの完全系列に関する補題6.3を適用し、最高チャーン類と逆チャーン類を介して、連続する零点集合のミルナー類を関連付ける。
• 双対バンドル、タウトロジカルラインバンドル、相対接バンドルを含む特性類の表現のプッシュフォワードを用いて、主要な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランクrの正則な複素ベクトルバンドルのセクションsによって定義される局所的完全交差Z(s)のミルナー類は、射影双対バンドルℙ(E∨)上に誘導されるセクション$$\tilde{s}$$に対応する超曲面のミルナー類でどのように表現できるか？
• RQ2 局所的完全交差のミルナー類と、それを定義する超曲面のグローバル・レ・サイクルとの正確な関係は何か？
• RQ3 超曲面に対して知られているパルシウスキ＝プラガツおよびアルーイ型の公式は、完全交差の設定に一般化可能か？
• RQ4 双対バンドルおよびタウトロジカルラインバンドルのチャーン類は、局所的完全交差のミルナー類の表現において果たす役割は何か？
• RQ5 双対バンドルの射影化は、元の完全交差の位相的・代数的不変量をどのように符号化しているか？

主な発見

• 局所的完全交差Z(s)の全ミルナー類は、$${\rm M}(Z(s)) = p_*\big( c(p^*E^\bullet \otimes \mathcal{O}(1))^{-1} c_1(\mathcal{O}(1))^{r-1} c(F)^{-1} c_{\rm top}(F) \cap {\rm M}(Z(\tilde{s})) \big)$$ で与えられ、ここで$$\tilde{s}$$は$$\mathbb{P}(E^\vee)$$上に誘導されるセクションである。
• パルシウスキ＝プラガツ型の公式が、チャーン類$$c_1(L_i)$$の多項式として得られ、既知の超曲面の公式を拡張する。
• 定理5.4により、完全交差のミルナー類は、定義する超曲面のグローバル・レ・サイクルと関連づけられ、位相的・幾何的解釈が与えられる。
• $$\mu$$-クラスを用いたアルーイ型の公式が導出され、完全交差のミルナー類が超曲面のミルナー類の表現として与えられる。
• 公式は、トランスバーサルなホイットニー分離構造の選択に依存せず、個々の$$X_i$$の各層の間のトランスバーサリティの仮定のもとで成り立つ。
• 従来の超曲面に関する研究を一般化し、射影幾何と特性類を用いた、完全交差におけるミルナー類の計算の体系的かつ一貫した方法を提供する。