[論文レビュー] On the Milnor monodromy of the irreducible complex reflection arrangements

Alexandru Dimca|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、例外的な場合 $ G_{31} $ を除く、非可約な複素反射配置のミルナー係数体の第一コホモロジー群におけるモノドロミー作用を決定する。先行研究のモノドロミー作用の固有値に関する結果を精緻化し、局所アレクサンダー多項式の技法を適用することで、すべての固有値が単位根の立方根であることを示し、群の型とパラメータに応じたモノドロミー作用の行列式を明示的に得る。

ABSTRACT

Using recent results by A. Macinic, S. Papadima and R. Popescu, and a refinement of an older construction of ours, we determine the monodromy action on $H^1(F(G),C)$, where $F(G)$ denotes the Milnor fiber of a hyperplane arrangement associated to an irreducible complex reflection group $G$.

研究の動機と目的

• 非可約な複素反射群 $ G \neq G_{31} $ に対して、$ H^1(F(G), ℂ) $ におけるモノドロミー作用を完全に特定すること。
• Măcinic, Papadima, Popescu による最近の $ p^s $ 階のモノドロミー固有値に関する結果を拡張・精緻化すること。
• 単項式配置 $ \mathcal{A}(m,m,n) $、$ \mathcal{A}(m,1,n) $、および例外群 $ G_j $（$ j \neq 31 $）のモノドロミー構造を解明すること。
• $ G_{31} $ に対して標準的手法が失敗する理由を説明し、別途の計算的手法を採用する必然性を正当化すること。

提案手法

• Măcinic, Papadima, Popescu の最近のモノドロミー作用の固有値に関する結果を活用し、特に $ p^s $ 階の固有値に注目する。
• 配置に関連する射影的曲線の特異点を解析するために、局所アレクサンダー多項式の技法を適用する。
• 例 4.7 から導かれる式 $ a(g_i, k) = m - 1 - k_1 $ を用い、多重度 $ m $ の特異点を扱う。
• 定理 5.3 を適用し、$ d $、$ k $、$ a(g_i, k) $ を含む不等式を検証することで、3 よりも大きな位数の固有値が存在しないことを確認する。
• 一般の3次元断面を考察し、問題を平面曲線の特異点に還元し、局所不変量を用いてモノドロミーを解析する。
• $ \mathcal{A}(m,m,n) $ および $ \mathcal{A}(m,1,n) $ の特異点の次数と多重度を比較し、$ \gamma(m', d) $（$ m' $ と $ d $ の最大公約数）を計算することで、固有値の位数を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約な複素反射群 $ G \neq G_{31} $ に対して、$ H^1(F(G), \mathbb{C}) $ 上のモノドロミー作用の固有値 $ h^1 $ は何か？
• RQ2 どの素数 $ p $ と整数 $ s $ に対して、モノドロミー作用に $ p^s $ 階の固有値が現れるか？
• RQ3 なぜ標準的手法は例外群 $ G_{31} $ に対して失敗するのか？ そして、なぜそのモノドロミー構造は根本的に異なるのか？
• RQ4 単項式配置 $ \mathcal{A}(m,m,n) $ および $ \mathcal{A}(m,1,n) $ において、モノドロミー固有値はパラメータ $ m $、$ n $、および群の型にどのように依存するか？
• RQ5 特定の例外群において、モノドロミー作用が自明になり得る条件は何か？

主な発見

• $ \mathcal{A}(m,m,3) $ に対して、モノドロミー作用 $ h^1 $ の固有値は立方根の単位根に限られ、$ 3 \mid m $ ならば $ \Delta_V(t) = (t-1)^{3m-1}(t^2 + t + 1)^2 $、さもなくば $ (t-1)^{3m-1}(t^2 + t + 1) $ である。
• $ n > 3 $ の場合、$ F(m,m,n) $ 上の $ h^1 $ の固有値も立方根の単位根に限られ、$ n = 4 $ ならば $ \det(t \cdot \text{Id} - h^1) = (t-1)^{qm-1}(t^2 + t + 1) $、$ n > 4 $ ならば $ h^1 = \text{Id} $ である。ここで $ q = \binom{n}{2} $ である。
• $ \mathcal{A}(m,1,n) $ に対して、モノドロミー固有値も再び立方根の単位根に限られ、$ n = 3 $ かつ $ m \equiv 1 \pmod{3} $ ならば $ \det(t \cdot \text{Id} - h^1) = (t-1)^{qm+n-1}(t^2 + t + 1) $、さもなくば $ h^1 = \text{Id} $ である。
• 例外群 $ G_j $（$ j \neq 31 $）に対して、モノドロミー作用は $ G_{25} $ を除き自明である。$ G_{25} $ では $ \det(t \cdot \text{Id} - h^1) = (t-1)^9(t^4 - 1)^2 $ である。
• この手法は $ G_{31} $ に対して失敗する。定理 5.3 の不等式が 6 階の固有値に対して破られるため、別個の計算的手法が不可避である。
• すべてのケースにおいて、固有値の位数は 3 の約数に制限されるが、$ G_{25} $ では $ (t^4 - 1)^2 $ 要因により 4 階の固有値が含まれる。