[論文レビュー] On the Minimum Width of a Cutset in the Truncated Boolean Lattice

Béla Bajnok|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$[n]$ のサイズが $ m $ から $ l $ の間であるすべての部分集合からなる、切り詰めたブール畳み込み $ \mathcal{B}_n(m,l) $ のカットセットの最小幅 $ h_n(m,l) $ を調査する。$ n \gg m $ の場合、この最小幅は二項係数の差の和 $ \sum_{j \geq 0} \Delta_n(m - jc) $ で与えられるとの予想を提示し、短い畳み込み（$ l = m, m+1, m+2 $）に対してはその予想を証明し、高さの大きい畳み込み（$ l \geq 2m $）に対しては上界 $ \binom{n}{m} - \binom{n}{m-1} $ を確立し、$ 2m $ を超えて $ l $ が増加しても幅が安定することを示した。

ABSTRACT

For integers $0 \leq m \leq l \leq n-m$, the truncated Boolean lattice ${\cal B}_n(m,l)$ is the poset of all subsets of $[n] = \{1, 2, \ldots, n\}$ which have size at least $m$ and at most $l$. ${\cal C} \subseteq {\cal B}_n(m,l)$ is a {\em cutset} if it meets every chain of length $l-m$ in ${\cal B}_n(m,l)$, and the {\em width} of ${\cal C}$ is the size of the largest antichain in ${\cal C}$. We conjecture that for $n >> m$ the minimum width $h_n(m,l)$ of a cutset in ${\cal B}_n(m,l)$ is $Σ_{j \geq 0} Δ_n(m-jc) = Δ_n(m)+Δ_n(m-c)+Δ_n(m-2c)+ \dots$, where $c=l-m+1$ is the number of level sets in ${\cal B}_n(m,l)$ and $Δ_n(k)={n \choose k}- {n \choose k-1}$. We establish our conjecture for the cases of "short lattices" ($l=m$, $l=m+1$, and $l=m+2$). For "taller lattices" ($l \geq 2m$) our conjecture gives ${n \choose m} - {n \choose m-1}$, independently of $l$. Our main result is that $h_n(m,l) \leq {n \choose m} - {n \choose m-1}$ if $l \geq 2m$.

研究の動機と目的

• 切り詰めたブール畳み込み $ \mathcal{B}_n(m,l) $ におけるカットセットの最小幅 $ h_n(m,l) $ を理解すること。ここでカットセットとは、すべての最大鎖と交わる部分集合である。
• $ n \gg m $ の場合、$ h_n(m,l) = \sum_{j \geq 0} \left( \binom{n}{m-jc} - \binom{n}{m-jc-1} \right) $ という予想を提示し、既知の結果を一般化すること。ここで $ c = l - m + 1 $ である。
• 鎖の分解と色分け技術を用いて、短い畳み込み（$ l = m $、$ l = m+1 $、$ l = m+2 $）に対してその予想を証明すること。
• $ l \geq 2m $ の場合、$ h_n(m,l) \leq \binom{n}{m} - \binom{n}{m-1} $ を証明し、$ 2m $ を超えて $ l $ が増加しても最小幅が変化しないことを示すこと。
• カットセット幅 $ h_n(m,l) $ と最小最大レベルサイズ $ g_n(m,l) $ の関係を調査し、$ n $ が十分に大きい場合に両者が等しいと予想すること。

提案手法

• Griggs や de Bruijn のアイデアにインspされ、$ 2^{[2m]} $ のブール畳み込みを、長さが $ m $ 以下で、開始レベルが制御された鎖に再帰的に分解する手法を用いる。
• 部分集合が $[2m]$ と交わるかどうかに基づいて色クラスを定義し、各色クラスが $ 2^{[n-2m]} $ に同型であるようにすることで、積構成に基づく鎖の構築を可能にする。
• $ 2m $ 要素の商畳み込み $ \mathcal{Q} \cong 2^{[2m]} $ から鎖を引き上げることで、$ \mathcal{B}_n(m,2m) $ に $ \binom{n}{m} - \binom{n}{m-1} $ 個の鎖を構成する。
• 要素 1 および 2 の属する状態に基づいて、黒、青、赤、白の色分けを用いて、$ l = m+2 $ の場合のノードを分割し、鎖の構築を誘導する。
• 数学的帰納法と鎖の構造的性質を用いて、$ \mathcal{B}_n(m,m+2) $ の任意の最大鎖が、構築されたカットセットと交わることを示す。
• Kruskal-Katona の定理を用いて、レベルごとのノード数に基づいてカットセットを特徴付け、$ g_n(m,l) = h_n(m,l) $ に関する予想を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 0 \leq m \leq l \leq n-m $ の場合、切り詰めたブール畳み込み $ \mathcal{B}_n(m,l) $ におけるカットセットの最小幅 $ h_n(m,l) $ は何か。特に $ n \gg m $ の場合に注目する。
• RQ2 $ c = l - m + 1 $ とおくとき、予想された式 $ h_n(m,l) = \sum_{j \geq 0} \left( \binom{n}{m-jc} - \binom{n}{m-jc-1} \right) $ が、すべての $ l \geq m $ に対して成り立つか。
• RQ3 $ l \geq 2m $ の場合、最小カットセット幅 $ h_n(m,l) $ は定数であり、$ \binom{n}{m} - \binom{n}{m-1} $ に等しいか。
• RQ4 最大レベルサイズの最小値 $ g_n(m,l) $（つまり、カットセットが各レベルに高々 $ k $ 個のノードを持つような最小の $ k $）が、$ h_n(m,l) $ に等しいか。
• RQ5 特に色分けに基づく鎖の分解を用いた場合、$ \mathcal{B}_n(m,l) $ の鎖の構造が、すべての最大鎖が構築されたカットセットと交わることを保証する仕組みは何か。

主な発見

• $ l = m $ の場合、最小カットセット幅は $ h_n(m,m) = \binom{n}{m} $ であり、サイズ $ m $ のすべての部分集合を取ることで達成される。これは、長さ 1 の鎖すべてと交わるためカットセットである。
• $ l = m+1 $ の場合、$ h_n(m,m+1) = \binom{n-1}{m} $ である。これは、要素 1 を含むかどうかに基づいて部分集合を色分けすることで、$ \binom{n-1}{m} $ 個の鎖を構成することで証明された。
• $ l = m+2 $ の場合、$ h_n(m,m+2) = \sum_{j=0}^{m} \binom{n-2j-2}{m-j} $ である。これは四色分け法と帰納法を用いて確立され、鎖が互いに素であるのを回避することを示した。
• 本稿では、$ l \geq 2m $ の場合、$ h_n(m,l) \leq \binom{n}{m} - \binom{n}{m-1} $ を証明し、$ 2m $ を超えて $ l $ が増加しても最小カットセット幅が増加しないことを示した。
• $ \mathcal{B}_n(m,2m) $ に構築されたサイズ $ \binom{n}{m} - \binom{n}{m-1} $ のカットセットは、色クラスとレベルの交差を追跡することで、すべての最大鎖と交わることが示された。
• $ 2m $ 要素の商畳み込みにおける鎖の分解を分析し、鎖を全畳み込みに引き上げることで、$ \mathcal{B}_n(m,2m) $ のすべての最大鎖がカットセット内の少なくとも一つの鎖と交わることを保証した。