[論文レビュー] On the mixing structure of stationary increment and self-similar symmetric \alpha-stable processes

Донатас Сургайлис, J. Rosiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マサニとランベルティ変換を介して非特異的流れとコサイクルとを結びつけることにより、定常増分および自己相似対称 $\alpha$-安定（SαS）過程の混合構造を調査する。エルゴディック分解を用いて、定常増分を有する自己相似SαS過程が、散逸的（混合移動平均型を含む）または保存的であることを特徴づけ、後者は回転的混合的であることを示す。主な貢献は、周期的最小関数と等長変換を用いた保存的過程の完全分類および分布的同値性基準の確立である。

ABSTRACT

Mixed moving average processes appear in the ergodic decomposition of stationary symmetric \alpha-stable (S\alpha S) processes. They correspond to the dissipative part of "deterministic" flows generating S\alpha S processes (Rosinski, 1995). Along these lines we study stationary increment and self-similar S\alpha S processes. Since the classes of stationary increment and self-similar processes can be embedded into the class of stationary processes by the Masani and Lamperti transformations, respectively, we characterize these classes of S\alpha S processes in terms of nonsingular flows and the related cocycles. We illustrate this approach considering various examples of self-similar mixed moving average S\alpha S processes introduced in (Surgailis, Rosinski, Mandrekar and Cambanis, 1992).

研究の動機と目的

• 非特異的流れとコサイクルを用いた定常増分および自己相似SαS過程のエルゴディック分解の特徴づけ。
• 付録における技術的拡張を通じて、マサニの定常増分過程に関する研究を $\alpha > 0$ すべての範囲（$\alpha < 1$ を含む）に拡張すること。
• 定常増分を有する自己相似SαS過程を散逸的または保存的として分類し、保存的過程が回転的混合的であることを示すこと。
• 周期的最小関数と等長変換に基づいた保存的SαS過程の分布的同値性基準の確立。
• 流れ誘導変換を用いた、混合回転平均および保存的SαS過程の完全なスペクトル表現フレームワークの提供。

提案手法

• マサニおよびランベルティ変換を用いて、定常増分および自己相似過程を定常SαS過程のクラスに埋め込む。
• ロジンスキーのエルゴディック分解定理を適用し、非特異的流れと $\{−1, 1\}$ 値（複素数の場合には単位円）をとるコサイクルによる定常SαS過程の表現を導出する。
• ハーディンの基準による最小スペクトル表現の定義：ほとんど everywhere で台集合が全空間に一致し、任意の可測集合が流れによって生成されるσ代数に関して同値である。
• 関数 $f(t,s,x) = g(s+tx) - g(s)$ を用いて、周期的に拡張された $g$ と $\mathbb{R}^+$ 上のリーヴィ測度 $Q$ を用いて、混合回転平均過程を構成する。
• コサイクル恒等式 $a_{t+u}(s) = a_u(s) a_t(\phi_u(s))$ を用いて、流れのダイナミクスに基づくスペクトル表現を導出する。
• 変換 $Uf(s,x) = h(x)f(s + \tau(x), x)$ の等長拡張を用いて、混合回転平均の分布的同値性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常増分を有する自己相似SαS過程のエルゴディック分解構造は何か？ 散逸的部と保存的部はどのように異なるか？
• RQ2 マサニおよびランベルティ変換を、$\alpha > 0$ のすべての範囲（$\alpha < 1$ を含む）における定常増分SαS過程を特徴づけるためにどのように拡張できるか？
• RQ3 定常増分を有する保存的SαS過程が回転的混合的であるための条件は何か？
• RQ4 二つの混合回転平均SαS過程が同じ有限次元分布を持つための条件は何か？
• RQ5 二つの保存的SαS過程 $X_t = \int (g(s+tx) - g(s)) M(ds,dx)$ が分布的に等しいための正確な条件は何か？

主な発見

• 定常増分を有する保存的SαS過程は、回転的混合的である。スペクトル表現 $X_t = \int (g(s+tx) - g(s)) M(ds,dx)$ が成り立ち、$g$ は周期的で $Q(dx) = x^{-1-\beta} dx$ である。
• このような過程の自己相似指数 $H$ は、$g \in L^\alpha(\text{Leb})$ かつ $\int_0^{2\pi} |g(s+t)-g(s)|^\alpha ds = O(t^{-r})$（$t \to 0$、$r > \beta > 0$）を満たすとき、$H = \beta / \alpha$ である。
• パラメータ $(f_1, Q_1)$ および $(f_2, Q_2)$ を持つ二つの混合回転平均過程が分布的に等しいための必要十分条件は、$Q_1 \sim Q_2$ であり、可測関数 $\tau: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ と $h$ が存在して、$Uf(s,x) = h(x)f(s + \tau(x), x)$ が $L^\alpha(\text{Leb} \times Q)$ 上の線形等長写像に拡張できることである。
• 保存的過程では、$X_1 \stackrel{d}{=} X_2$ であるための必要十分条件は、$\beta_1 = \beta_2$ かつ $g_2(\cdot) = \epsilon g_1(\cdot + \tau) + c$（$\epsilon = \pm 1$、$c \in \mathbb{R}$、$\tau \in [0, 2\pi)$）を満たすことである。
• スペクトル表現 $f(t,s,x) = g(s+tx) - g(s)$ が最小であるための必要十分条件は、$g$ が周期的最小であること、すなわち各 $x$ に対して $g(\cdot, x)$ の最小周期が $2\pi$ であることである。
• 分布的同値性の証明は、$g_1$ および $g_2$ の周期的最小性が、差関数 $f_1(1,\cdot)$ および $f_2(1,\cdot)$ の周期的最小性を導くことにより、定理4.9の適用を可能にする。