[論文レビュー] On the modularity of 3-regular random graphs and random graphs with given degree sequences

Lyuben Lichev, Dieter Mitsche|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3正則ランダムグラフおよび与えられた次数列を持つランダムグラフのモジュラリティに対して、漸近的にほとんど確実（a.a.s.）な下界と上限を確立する。McDiarmidとSkermanの予想である、3正則グラフのモジュラリティがa.a.s. 0.667026以上であることを裏付ける一方で、上限を0.789998に改善する。一般の次数列に対しては、次数分布および巨大成分の有無に依存するモジュラリティの境界を導出する。

ABSTRACT

The modularity of a graph is a parameter that measures its community structure; the higher its value (between $0$ and $1$), the more clustered the graph is. In this paper we show that the modularity of a random $3$-regular graph is at least $0.667026$ asymptotically almost surely (a.a.s.), thereby proving a conjecture of McDiarmid and Skerman. We also improve the a.a.s. upper bound given therein to $0.789998$. For a uniformly chosen graph $G_n$ over a given bounded degree sequence with average degree $d(G_n)$ and with $|CC(G_n)|$ many connected components, we distinguish two regimes with respect to the existence of a giant component. In the subcritical regime, we compute the second term of the modularity. In the supercritical regime, we prove that there is $\\varepsilon > 0$, for which the modularity is a.a.s. at least \\begin{equation*} \\dfrac{2\\left(1 - \\mu\ ight)}{d(G_n)}+\\varepsilon, \\end{equation*} where $\\mu$ is the asymptotically almost sure limit of $\\dfrac{|CC(G_n)|}{n}$.

研究の動機と目的

• McDiarmidとSkermanの予想を解決する。すなわち、あるδ > 0に対して、ランダム3正則グラフのモジュラリティが2/3 + δで下から有界であることを示す。
• ランダム3正則グラフのモジュラリティに対する漸近的にほとんど確実（a.a.s.）な上限を改善する。
• 下位的および上位的の両 regime における、与えられた次数列を持つランダムグラフのモジュラリティを分析する。特に、巨大成分の役割と連結成分の数に注目する。
• 次数分布および連結成分数などの構造的パラメータを用いて、モジュラリティの明示的漸近的表現を導出する。

提案手法

• 与えられた次数列を持つランダムグラフを生成するための構成モデルを用い、連結成分の構造とそれらが最大成分に接続される様子を分析する。
• 一階および二階モーメント法を適用して、最大成分に小規模な成分（木的・サイクル的・複数の辺で接続される）が接続される数を制限し、測度集中を保証する。
• パラメータ $ Q = \sum_{i \geq 1} i(i-2)p_i $ を導入し、$ p_i $ を次数 $ i $ の頂点の極限割合とする。これにより、下位的（$ Q < 0 $）および上位的（$ Q > 0 $）の状態を区別する。
• 2段階の探索プロセスを用いて、高い密度を持つ部分グラフ $ A'_{\text{max}} $ を特定し、その後、高いモジュラリティを達成する分割を構築する。
• $ A'_{\text{max}} $ 内の辺密度とグラフの残りの部分への接続性を分析することで、モジュラリティの下界を導出する。半辺数および成分サイズの境界を用いる。
• 集中不等式および確率的境界を適用し、主成分にちょうど2本または3本の辺で接続される成分の数が期待値の周囲に集中することを示し、モジュラリティのきめ細やかな制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム3正則グラフのモジュラリティは、漸近的にほとんど確実に2/3を超えるか。McDiarmidとSkermanの予想を確認できるか？
• RQ2 ランダム3正則グラフのモジュラリティに対する最良の漸近的にほとんど確実な上限は何か？
• RQ3 下位的（巨大成分なし）の状態と上位的（巨大成分あり）の状態において、与えられた次数列を持つランダムグラフのモジュラリティはどのように振る舞うか？
• RQ4 上位的状態において、連結成分に分割する自明な境界を上回る非自明な下界を確立できるか？
• RQ5 $ Q = 0 $、すなわち次数分布の臨界閾値において、モジュラリティの漸近的挙動は何か？

主な発見

• ランダム3正則グラフのモジュラリティはa.a.s. 0.667026以上であり、McDiarmidとSkermanの予想を裏付ける。
• ランダム3正則グラフのモジュラリティに対するa.a.s. 上限は0.789998に改善された。
• 下位的状態（$ Q < 0 $）では、モジュラリティは漸近的に $ 1 - \frac{c}{Mn} + o(\frac{1}{n}) $ に収束する。ここで $ c $ および $ M $ は次数分布に依存する。
• 上位的状態（$ Q > 0 $）では、モジュラリティはa.a.s. $ \frac{2(1 - \mu)}{d(G_n)} + \varepsilon $ 以上である。ここで $ \mu = \lim \frac{|CC(G_n)|}{n} $ であり、$ d(G_n) $ は平均次数を表す。
• 主成分にちょうど2本の辺で接続される成分の数は $ C_2 \varepsilon'^2 n $ の周囲に集中し、3本の辺で接続される成分の数は $ o(n) $ である。これにより、モジュラリティのきめ細やかな制御が可能となる。
• 解析により、連結成分に基づく自明な分割に対するモジュラリティの向上は非自明であり、定量的にも境界づけられていることが示された。