[論文レビュー] On the moduli part of the Kawamata-Kodaira canonical bundle formula

Caucher Birkar, Yifei Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kawamata-Kodairaの正則バンドル公式におけるモジュライb-除的の任意に小さい摂動が、解体と適切な有効除的の構成により半アーモニックであることを証明する。この結果により、FujinoとGongyoの予想が解決され、$ f: X \to Z $ が滑らかな射影的多様体の滑らかな射影であるとき、$ -K_X $ が半アーモニックならば $ -K_Z $ も半アーモニックであることが示される。

ABSTRACT

It is conjectured that the moduli b-divisor of the Kawamata-Kodaira canonical bundle formula associated to a klt-trivial fibration $(X,B) o Z$ is semi-ample. In this paper, we show the semi-ampleness of an arbitrarily small perturbation of the moduli b-divisor by a fixed appropriate divisor which roughly speaking comes from a section of $K_X+B$. We apply the above result to settle a conjecture of Fujino and Gongyo: if $f\colon X o Z$ is a smooth surjective morphism of smooth projective varieties with $-K_X$ semi-ample, then $-K_Z$ is also semi-ample. We list several counter-examples to show that this fails without the smoothness assumption on $f$.

研究の動機と目的

• klt-自明ファイブレーションにおけるKawamata-Kodaira正則バンドル公式のモジュライb-除的の摂動の半アーモニック性を証明すること。
• FujinoとGongyoが提起した、$ -K_X $ が半アーモニックである滑らかなファイブレーション $ f: X \to Z $ に対して $ -K_Z $ が半アーモニックであるという予想を解決すること。
• モジュライb-除的自体が必ずしも半アーモニックではないが、$ K_X + B $ のセクションからの固定除的による摂動により、半アーモニックになることの確立。
• 滑らかさの仮定が予想が成り立つために本質的であることを示す反例を提供すること。

提案手法

• klt-自明ファイブレーションの基底 $ Z $ の解体であるAmbroモデル $ Y \to Z $ の解体 $ \phi: W \to Y $ を最小モデルプログラムを用いて構成する。
• 例外的 $ /Z $ な $ \mathbb{Q} $-除的 $ E \geq 0 $ を用いて、$ Y $ 上の $ \mathbb{Q} $-除的 $ \Delta_Y = B_Y + E $ を定義し、$ (Y, \Delta_Y) $ がkltであるようにする。
• 定理1.2を適用し、$ \alpha \gg 0 $ に対して、$ W $ 上で $ \alpha M_W + G $ が半アーモニックであることを示す。ここで $ G \leq \phi^*D_Y $ かつ $ D_Y \sim_{\mathbb{Q}} K_Y + \Delta_Y + bM_Y $ である。
• 負の補題を用いて、$ G $ が一般点 $ z \in Z $ の近傍上で 0 であることを示し、$ G $ が例外的であり、$ z $ を支配しないことを示す。
• 有効 $ \mathbb{Q} $-除的 $ P_W \geq 0 $ を構成し、$ \alpha M_W + G \sim_{\mathbb{Q}} P_W $ かつ $ P_W $ が $ z $ のファイバーから離れているようにする。これにより、$ P_Z = \sigma_*\phi_*P_W \geq 0 $ は $ \mathbb{Q} $-除的であり、$ z \notin \operatorname{Supp} P_Z $ である。
• 結論として、$ M_Z $ の安定基底集合は $ Z $ の任意の点 $ z \in Z $ を含まないため、$ -K_Z $ は半アーモニックである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt-自明ファイブレーションにおけるKawamata-Kodaira正則バンドル公式のモジュライb-除的は半アーモニックか？
• RQ2 固定除的（$ K_X + B $ のセクションからのもの）による摂動によって、モジュライb-除的の半アーモニック性を確立できるか？
• RQ3 滑らかなファイブレーション $ f: X \to Z $ に対して、$ -K_X $ が半アーモニックならば $ -K_Z $ は半アーモニックか？
• RQ4 ファイブレーション $ f $ の滑らかさの仮定を外した場合、$ -K_Z $ の半アーモニック性はどのように変化するか？
• RQ5 既知のネフまたはビッグなアンチCanonical除的に関する結果に依存せずに、正則バンドル公式を用いて $ -K_Z $ の半アーモニック性を証明できるか？

主な発見

• 正則バンドル公式におけるモジュライb-除的 $ M_Y $ は、一般に半アーモニックではないが、十分に大きな $ \alpha \gg 0 $ に対して、解体 $ W \to Y $ 上の有効 $ \mathbb{Q} $-除的 $ G $ を用いた摂動 $ \alpha M_W + G $ は半アーモニックである。
• 摂動 $ \alpha M_W + G $ は、$ G \leq \phi^*D_Y $ かつある $ l > 0 $ に対して $ R(W, lG) \simeq R(Y, lD_Y) $ となるように構成され、セクション環との整合性が保証される。
• この結果により、$ f: X \to Z $ が滑らかな射影的多様体の滑らかな射影であり、$ -K_X $ が半アーモニックであるとき、$ -K_Z $ も半アーモニックであることが示され、FujinoとGongyoの予想が解決される。
• 証明は負の補題に依拠し、摂動除的 $ G $ が任意の点 $ z \in Z $ の近傍上で 0 であることを示す。これにより、$ \alpha M_Z \sim_{\mathbb{Q}} P_Z \geq 0 $ かつ $ z \notin \operatorname{Supp} P_Z $ となり、$ -K_Z $ が安定基底集合の意味で基底点自由であることが証明される。
• 反例により、$ f $ の滑らかさの仮定が本質的であることが示される：滑らかさがなければ、$ -K_X $ が半アーモニックであっても $ -K_Z $ が半アーモニックであるとは限らない。
• 特殊な場合 $ K_X + B \sim_{\mathbb{Q}} 0 $ に対しても、$ D_Y = E $ と取り、依然として摂動されたモジュライ除的の半アーモニック性が得られる。