[論文レビュー] On the Moduli Space of Asymptotically Flat Manifolds with Boundary and the Constraint Equations

Sven Hirsch, Martin Lesourd|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Cerfの定理を回避する構成的アプローチを用いて、境界付きの漸近的に平坦な3次元多様体のモジュライ空間の路連結性を、スカラー曲率が0で、境界が平均凸である条件下で確立する。Carlotto-Liの正のスカラー曲率と平均凸境界に関する結果と、共形変換技術を活用することで、$ℝ^3 \setminus B^3$ 上のすべてのこのような計量が、$R=0$ および $H=0$ を保ちながら互いに連続的に変形可能であることを証明し、一般相対性理論における最大初期データセットへと拡張する。

ABSTRACT

Let $X$ be a closed $3$-manifold, $\mathcal{M}_{R>0}$ the space of metrics on $X$ with positive scalar curvature, and $ ext{Diff}(X)$ the group of diffeomorphisms of $X$. Marques proves the fundamental result that $\mathcal{M}_{R>0}/ ext{Diff}(X)$ is path connected. Using this and the theorem of Cerf in differential topology, Marques shows that the space of asymptotically flat metrics with nonnegative scalar curvature on $\mathbb{R}^3$ is path connected. Based on Carlotto-Li's generalization of Marques' result to the case of compact manifold with boundary, we show that the space of asymptotically flat metrics with nonnegative scalar curvature and mean convex boundary on $\mathbb{R}^3\backslash B^3$ is path connected. The differential topology part of Marques' argument no longer yields the desired result for $\mathbb{R}^3\setminus B^3$, but we bypass this issue by finding a more elementary proof. We also include a path-connectedness result for the space of black hole initial data sets, which can be thought of as a necessary condition for the Final State Conjecture.

研究の動機と目的

• 境界付きの漸近的に平坦な3次元多様体のモジュライ空間が、スカラー曲率が0で、境界が平均凸である条件下で路連結であることを確立すること。
• 閉じた多様体に対してMarquesが示した路連結性の結果を、$ℝ^3 \setminus B^3$ のような非コンパクト多様体に拡張すること。
• 境界の存在下でCerfの定理が失敗するのを回避するため、$π⁡\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ に依存しない微分同相写像不変な経路を構成すること。
• 一般相対性理論の制約方程式に応用し、外側に漸近的に外側に捕獲された境界を持つ最大、真空中初期データセットの空間が路連結であることを証明すること。

提案手法

• 境界付きコンパクト3次元多様体 $X$ に対して、$\mathcal{M}_{R>0,H>0}/\mathrm{Diff}(X)$ の路連結性に関するCarlotto-Liの結果を用いて、$S^3 \setminus B^3$ 上にモデルを構築する。
• 補題4.2を適用し、任意の漸近的に平坦な計量（$R=0$, $H=0$）を、曲率および境界条件を保ちつつ標準形に共形変換する。
• 定理1.2および[4]の結果を用いて、$S^3 \setminus B^3$ 上にヤマベ正の計量の経路を構成し、二重空間における路連結性を保証する。
• 補題4.5を用いて、$S^3 \setminus B^3$ から $ℝ^3 \setminus B^3$ への微分同相写像を明示的に構成し、漸近的平坦性および曲率条件を保つ。
• 境界条件付きのLichnerowicz方程式を用いて、初期データセットを $R = |\sigma|_g^2$ および $H + \sigma(\nu,\nu) \leq 0$ を満たすように共形変換する。
• 下解および上解の手法を用いて、$u \to 1$（$\infty$ で）、$0 < u \leq 1$ を満たす $u$ に対するLichnerowicz方程式を解き、曲率および境界条件を保つ共形因子の存在と一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^3 \setminus B^3$ 上で $R=0$ および $H=0$ である漸近的に平坦な多様体のモジュライ空間は、$W^{k,p}_\rho$ 位相で路連結であると示せるか？
• RQ2 $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ が路連結でないという事実は、境界付き多様体に対してMarquesの証明戦略を直接適用できないのを防ぐか？
• RQ3 Cerfの定理に依存せず、微分同相写像不変な経路を構成することで、2つのこのような計量の間の構成的経路を構築できるか？
• RQ4 外側に漸近的に外側に捕獲された境界を持つ最大、真空中初期データセットの空間は、$W^{k,p}_\rho$ 位相で路連結であるか？
• RQ5 共形変換技術を用いて、連続的変形の下で $R=0$, $H=0$ および制約方程式を保てるか？

主な発見

• $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 上の漸近的に平坦な計量の空間 $\mathcal{M}_{R=0,H=0}^{k,p,\rho}$ は、$W^{k,p}_\rho$ 位相で路連結である。
• 定理1.3で構成された経路は、任意の漸近的に平坦な計量（$R=0$, $H=0$）をリーマンのシュバルツシルト計量 $g_S$ に連続的に変形する。
• 空間 $\mathcal{M}_{R\geq 0,H\geq 0}^{k,p,\rho}$ に対しても路連結性が成り立ち、非負の曲率および平均曲率への拡張が可能である。
• 外側に漸近的に外側に捕獲された境界を持つ最大、真空中初期データセットの空間 $\mathcal{M}_{BH}$ は、$W^{k,p}_\rho \oplus W^{k-1,p}_{\rho-1}$ 位相で路連結である。
• 境界条件付きのLichnerowicz方程式は、$0 < u \leq 1$ かつ $u \in 1 + W^{k,p}_\rho$ を満たす一意な解 $u$ を持つ。これにより、曲率および境界条件を保つ共形因子の存在が保証される。
• 微分同相写像群のホモトピー型に依存しないように証明を回避するため、共形変換と持ち上げを用いた明示的経路を構成し、$\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ の路連結でない性質を回避した。