[論文レビュー] On the moduli space of nonnegatively curved metrics on Milnor spheres

Anand Dessai|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意のミルナー球面（$S^3$-バンドルとして得られるホモトピー的7次元球面）に非負曲率をもつ計量のモジュライ空間が無限個のパス成分を持つことを証明する。グローブ・ジラーによる共型次数1多様体上の非負曲率計量の構成法と、グローマン＝ロウソンの相対インデックス法の応用を用いて、固定されたミルナー球面上で無限個のこのような計量がモジュライ空間内で異なる成分を表すことを示している。同様の結果は、正のリッチ曲率をもつ計量のモジュライ空間に対しても成り立つ。

ABSTRACT

Let $M$ be a Milnor sphere or, more generally, the total space of a linear $S^3$-bundle over $S^4$ with $H^4(M;\mathbb{Q})=0$. We show that the moduli space of metrics of nonnegative sectional curvature on $M$ has infinitely many path components. The same holds true for the moduli space of metrics of positive Ricci curvature on $M$.

研究の動機と目的

• グローブとジラーが提起した、非負曲率計量のモジュライ空間の構造に関する問題を解決すること。
• ミルナー球面上の非負セクション曲率計量のモジュライ空間が無限個のパス成分を持つことを確立すること。
• この結果を正のリッチ曲率計量のモジュライ空間へ拡張すること。
• 線形 $S^3$-バンドル $S^4$ 上の全空間に対し、有理数係数での $H^4$ が自明である場合に一般化すること。

提案手法

• $S^4$ 上の主 $SO(4)$-バンドルにグローブ・ジラーの共型次数1構成法を適用し、ミルナー球面上の非負曲率計量を構成すること。
• ミルナー球面の微分同相型をパラメトライズするための $\boldsymbol{\mu}$-不変量分類を用いること。
• グローマンとロウソンのアイデアに基づく相対インデックス不変量を用いて、非負曲率計量のモジュライ空間内のパス成分を区別すること。
• リッチ曲線の保存性を用いて、正のリッチ曲率モジュライ空間内の成分の相異なる性質を示すこと。
• オイラー類とポントリャーギン類による分類を用いて、$H^4(M;\mathbb{Q}) = 0$ を満たす $S^3$-バンドル $S^4$ 上の全空間へ議論を拡張すること。
• $k \equiv l \mod 112n$ を満たすように構成された計量の族が、微分同相型の全空間を与えるが、モジュライ空間の成分としては互いに異なることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミルナー球面上の非負曲率計量のモジュライ空間は無限個のパス成分を持つか？
• RQ2 グローマン＝ロウソンの相対インデックス法は、エキゾチック7次元球面上の非負曲率計量のモジュライ空間内の成分を区別できるか？
• RQ3 正のリッチ曲率計量のモジュライ空間に対しても同様の結果が成り立つか？
• RQ4 この結果は、有理数係数での $H^4$ が自明な $S^3$-バンドル $S^4$ 上の全空間へ拡張可能か？
• RQ5 固定されたミルナー球面に対して、非微分同相な計量が無限個存在し、それらが非負曲率計量のモジュライ空間内で異なる成分を表すか？

主な発見

• 任意のミルナー球面上の非負曲率計量のモジュライ空間は無限個のパス成分を持つ。
• 任意のミルナー球面上の正のリッチ曲率計量のモジュライ空間に対しても、無限個のパス成分が存在する。
• 有理数係数での $H^4(M;\mathbb{Q}) = 0$ を満たすすべての線形 $S^3$-バンドル $S^4$ 上の全空間に対し、この結果は拡張可能であり、これにはすべてのミルナー球面が含まれる。
• 固定されたミルナー球面 $M_l$ に対して、$k \in l + 112n\cdot\mathbb{N}$ を満たすように構成された計量 $g_k$ は、${\cal M}_{sec\geq 0}(M)$ 内で互いに異なるパス成分に属する。
• これらの計量のリッチ曲線の時間発展により、${\cal M}_{Ric>0}(M)$ 内の成分も互いに異なることが示される。
• 証明は、Kreck-Stolz不変量のようなより高度な不変量を避けて、相対インデックス不変量を用いて成分を区別している。